Para um escoamento com viscosidade e pressão como forças dominantes, estabelecer uma expressão para relação de velocidades e para a relação de perdas de carga para modelo e protótipo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um escoamento onde a viscosidade e a pressão são as forças dominantes. Precisamos encontrar duas coisas:
- Uma expressão que relaciona as velocidades no modelo e no protótipo.
- Uma expressão que relaciona as perdas de carga no modelo e no protótipo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de semelhança e dimensionamento na mecânica dos fluidos, especialmente relacionados à viscosidade (
) e à pressão (
).
Passo 2
Primeiro, vamos focar na relação de velocidades entre o modelo e o protótipo. A velocidade (
) em um escoamento pode ser influenciada pela pressão (
), comprimento característico (
) e viscosidade (
) do fluido.
A relação dada é:
Aqui,
é a velocidade no modelo (
representa o modelo),
é a pressão no modelo,
é o comprimento característico no modelo e
é a viscosidade no modelo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a relação para as perdas de carga (
). A perda de carga é a diferença de pressão ao longo do escoamento e está relacionada com a viscosidade e a velocidade do fluido.
A relação dada é:
Aqui,
é a perda de carga no modelo,
é a velocidade no modelo,
é a viscosidade no modelo,
é uma velocidade característica adicional (pode ser relacionada a uma velocidade de escoamento específica) e
é o comprimento característico no modelo.
Passo 4
Para estabelecer as relações entre o modelo e o protótipo, vamos utilizar os conceitos de semelhança. Isso significa que as grandezas adimensionais devem ser as mesmas no modelo e no protótipo.
Vamos relacionar as velocidades
(protótipo) e
(modelo):
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos relacionar as perdas de carga
(protótipo) e
(modelo):
Simplificando, temos:
Passo 6
Resumindo, as expressões para a relação de velocidades e para a relação de perdas de carga entre o protótipo e o modelo são:
Relação de velocidades:
Relação de perdas de carga:
Resposta
As expressões estabelecidas são:
Relação de velocidades:
Relação de perdas de carga: