Para um escoamento com viscosidade e pressão como forças dominantes, estabelecer uma expressão para relação de velocidades e para a relação de perdas de carga para modelo e protótipo.
Rr s p : Vr=pr Lr / mur e L Hr=Vr mur / ur Lr

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um escoamento onde a viscosidade e a pressão são as forças dominantes. Precisamos encontrar duas coisas:
  1. Uma expressão que relaciona as velocidades no modelo e no protótipo.
  2. Uma expressão que relaciona as perdas de carga no modelo e no protótipo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de semelhança e dimensionamento na mecânica dos fluidos, especialmente relacionados à viscosidade ( ) e à pressão ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos focar na relação de velocidades entre o modelo e o protótipo. A velocidade ( Vr = pr Lrmur ) em um escoamento pode ser influenciada pela pressão ( ), comprimento característico ( ) e viscosidade ( ) do fluido.
A relação dada é:
Aqui, é a velocidade no modelo ( representa o modelo), é a pressão no modelo, é o comprimento característico no modelo e é a viscosidade no modelo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a relação para as perdas de carga ( LHr = Vr murur Lr ). A perda de carga é a diferença de pressão ao longo do escoamento e está relacionada com a viscosidade e a velocidade do fluido.
A relação dada é:
Aqui, é a perda de carga no modelo, é a velocidade no modelo, é a viscosidade no modelo, é uma velocidade característica adicional (pode ser relacionada a uma velocidade de escoamento específica) e é o comprimento característico no modelo.

Passo 4

Para estabelecer as relações entre o modelo e o protótipo, vamos utilizar os conceitos de semelhança. Isso significa que as grandezas adimensionais devem ser as mesmas no modelo e no protótipo.
Vamos relacionar as velocidades VpVr = pp Lp / muppr Lr / mur (protótipo) e VpVr = pp Lp murpr Lr mup (modelo):
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, vamos relacionar as perdas de carga LHpLHr = Vp mup / (up Lp)Vr mur / (ur Lr) (protótipo) e LHpLHr = Vp mup ur LrVr mur up Lp (modelo):
Simplificando, temos:

Passo 6

Resumindo, as expressões para a relação de velocidades e para a relação de perdas de carga entre o protótipo e o modelo são:
Relação de velocidades:
VpVr = pp Lp murpr Lr mup
Relação de perdas de carga:
LHpLHr = Vp mup ur LrVr mur up Lp

Resposta

As expressões estabelecidas são:
Relação de velocidades:
VpVr = pp Lp murpr Lr mup
Relação de perdas de carga:
LHpLHr = Vp mup ur LrVr mur up Lp

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