Calcule
, onde
, sent
T. Se
é unitário e normal exterior a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
, onde a força
e a curva
é parametrizada por
para
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de fluxo. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva, determinar o vetor normal unitário externo
e calcular o produto escalar com
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é dada por
para
de 0 a
, que é a parametrização da circunferência unitária no plano
. Essa curva representa um círculo de raio 1 centrado na origem.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal unitário externo
à curva
. Em uma circunferência, o vetor normal externo em cada ponto é simplesmente o vetor posição normalizado. Como
tem raio 1, o vetor posição
já é unitário. Portanto,
.
Passo 4
Vamos agora calcular o produto escalar
. Substituindo
e
:
Como
e
na parametrização de
, substituindo:
Passo 5
Agora, a integral fica simplificada para:
Onde
é o elemento de arco da curva
. Para um círculo unitário,
porque o raio é 1.
Passo 6
Portanto, a integral se torna:
Resposta
A integral
vale
.