Calcule integralgamma F cdot eta d s, onde F(x, y)=x i+y j, gamma=(cost, sent ), 0 <= t <= 2 pi T. Se eta é unitário e normal exterior a gamma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde a força e a curva é parametrizada por para . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de fluxo. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva, determinar o vetor normal unitário externo e calcular o produto escalar com .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é dada por para de 0 a , que é a parametrização da circunferência unitária no plano . Essa curva representa um círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal unitário externo à curva . Em uma circunferência, o vetor normal externo em cada ponto é simplesmente o vetor posição normalizado. Como tem raio 1, o vetor posição já é unitário. Portanto, .

Passo 4

Vamos agora calcular o produto escalar F cdot eta = (x i + y j) cdot (cos t i + sin t j) = x cos t + y sin t . Substituindo F cdot eta = cos^2 t + sin^2 t = 1 e :
Como e na parametrização de , substituindo:

Passo 5

Agora, a integral fica simplificada para:
integralgamma F cdot eta , ds = integral0^2pi 1 cdot ds
Onde é o elemento de arco da curva . Para um círculo unitário, porque o raio é 1.

Passo 6

Portanto, a integral se torna:
integral0^2pi 1 cdot dt = integral0^2pi dt = 2pi

Resposta

A integral vale .

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