Na eletrodinâmica de Weber a força entre duas cargas elétrica em movimento é dirigida ao longo da linha que as une e tem magnitude
onde denota a distância entre as partículas carregadas e é a velocidade da luz no vácuo. Determine o potencial generalizado associado a essa força. Escreva a lagrangiana e as equações de Lagrange para o movimento num plano de uma carga na presença de outra carga fixa na origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de eletrodinâmica de Weber que envolve encontrar o potencial generalizado associado a uma força entre duas cargas elétricas em movimento. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica clássica e Lagrangiana, além de manipular algumas fórmulas matemáticas. Vamos resolver passo a passo para ficar bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que está sendo dada:
Aqui, e são as cargas, é a distância entre elas, é a velocidade da luz, é a velocidade relativa e é a aceleração relativa. Queremos encontrar o potencial generalizado que se relaciona com essa força.

Passo 3

Na mecânica Lagrangiana, o potencial generalizado pode depender das coordenadas e das velocidades . A força está relacionada ao potencial pela relação:
Isso significa que precisamos encontrar tal que, ao derivarmos em relação a e , obtenhamos a força dada.

Passo 4

Vamos assumir que o potencial pode ser escrito como uma expansão em termos de . Observando a força dada:
Podemos notar que há uma parte que depende apenas de e outra que depende de . Vamos propor um potencial na forma:

Passo 5

Vamos verificar se esse potencial satisfaz a relação com a força . Primeiro, calculamos as derivadas necessárias.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
E a derivada temporal dessa última expressão:

Passo 6

Agora, juntamos as partes para encontrar a força:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando:
Comparando essa expressão com a força original fornecida:
Vemos que há uma diferença de sinal, o que indica que precisamos ajustar nosso potencial.

Passo 7

Vamos corrigir o sinal do potencial proposto. Propondo:
Agora, repetindo os cálculos das derivadas:
Primeira derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada temporal dessa última expressão:
Agora, juntando as partes:
Simplificando:
Organizando os termos:
Simplificando mais:
Pronto! Agora nossa expressão para coincide com a fornecida no enunciado. Então, o potencial generalizado correto é:

Passo 8

Agora que temos o potencial , podemos escrever a Lagrangiana , que é dada por:
Onde é a energia cinética do sistema. Para uma partícula movendo-se em um plano com coordenadas polares , a energia cinética é:
Então, substituindo :

Passo 9

Finalmente, vamos escrever as equações de Lagrange para o movimento da carga. As equações de Euler-Lagrange são dadas por:
Onde são as coordenadas generalizadas, no nosso caso e .
Primeiro, para a coordenada :
Calculamos as derivadas:
Aplicando a equação de Euler-Lagrange:
Podemos simplificar essa equação agrupando os termos:
Agora, para a coordenada :
Calculamos as derivadas:
Aplicando a equação de Euler-Lagrange:
Isso simplifica para:
Essa é a equação da conservação do momento angular.

Resposta

O potencial generalizado associado à força é
A Lagrangiana do sistema é
E as equações de Lagrange para o movimento são
Para :
Para :

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