Na eletrodinâmica de Weber a força entre duas cargas elétrica em movimento é dirigida ao longo da linha que as une e tem magnitude
F=e e^primer^2(1+r ddotrc^2-dotr^22 c^2)
onde r denota a distância entre as partículas carregadas e c é a velocidade da luz no vácuo. Determine o potencial generalizado U(r, dotr) associado a essa força. Escreva a lagrangiana e as equações de Lagrange para o movimento num plano de uma carga na presença de outra carga fixa na origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de eletrodinâmica de Weber que envolve encontrar o potencial generalizado associado a uma força entre duas cargas elétricas em movimento. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica clássica e Lagrangiana, além de manipular algumas fórmulas matemáticas. Vamos resolver passo a passo para ficar bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força que está sendo dada:
F = e e'r^2 (1 + r ddotrc^2 - dotr^22 c^2 )
Aqui, e são as cargas, é a distância entre elas, é a velocidade da luz, é a velocidade relativa e é a aceleração relativa. Queremos encontrar o potencial generalizado que se relaciona com essa força.

Passo 3

Na mecânica Lagrangiana, o potencial generalizado F = -partial Upartial r + ddt ( partial Upartial dotr ) pode depender das coordenadas e das velocidades . A força está relacionada ao potencial pela relação:
Isso significa que precisamos encontrar tal que, ao derivarmos em relação a e , obtenhamos a força dada.

Passo 4

Vamos assumir que o potencial F = e e'r^2 (1 + r ddotrc^2 - dotr^22 c^2 ) pode ser escrito como uma expansão em termos de U(r, dotr) = -e e'r (1 - dotr^22 c^2 ) . Observando a força dada:
Podemos notar que há uma parte que depende apenas de e outra que depende de . Vamos propor um potencial na forma:

Passo 5

Vamos verificar se esse potencial satisfaz a relação com a força partial Upartial r = e e'r^2 (1 - dotr^22 c^2 ) . Primeiro, calculamos as derivadas necessárias.
Primeiro, a derivada parcial de partial Upartial dotr = e e'r ( -dotrc^2 ) em relação a ddt ( partial Upartial dotr ) = -e e'r c^2 ddotr + e e' dotr^2r^2 c^2 :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
E a derivada temporal dessa última expressão:

Passo 6

Agora, juntamos as partes para encontrar a força:
F = -partial Upartial r + ddt ( partial Upartial dotr )
Substituindo as derivadas que calculamos:
F = -( e e'r^2 (1 - dotr^22 c^2 ) ) + ( -e e'r c^2 ddotr + e e' dotr^2r^2 c^2 )
Simplificando:
F = -e e'r^2 + e e' dotr^22 r^2 c^2 - e e'r c^2 ddotr
Comparando essa expressão com a força original fornecida:
F = e e'r^2 (1 + r ddotrc^2 - dotr^22 c^2 )
Vemos que há uma diferença de sinal, o que indica que precisamos ajustar nosso potencial.

Passo 7

Vamos corrigir o sinal do potencial proposto. Propondo:
U(r, dotr) = e e'r (1 + dotr^22 c^2 )
Agora, repetindo os cálculos das derivadas:
Primeira derivada em relação a partial Upartial r = -e e'r^2 (1 + dotr^22 c^2 ) :
partial Upartial dotr = e e'r ( dotrc^2 )
Derivada em relação a ddt ( partial Upartial dotr ) = e e'r c^2 ddotr - e e' dotr^2r^2 c^2 :
F = -( -e e'r^2 (1 + dotr^22 c^2 ) ) + ( e e'r c^2 ddotr - e e' dotr^2r^2 c^2 )
Derivada temporal dessa última expressão:
F = e e'r^2 (1 + dotr^22 c^2 ) + e e'r c^2 ddotr - e e' dotr^2r^2 c^2
Agora, juntando as partes:
F = e e'r^2 + e e' r ddotrr^3 c^2 + e e' dotr^22 r^2 c^2 - e e' dotr^2r^2 c^2
Simplificando:
F = e e'r^2 (1 + r ddotrc^2 - dotr^22 c^2 )
Organizando os termos:
U(r, dotr) = e e'r (1 + dotr^22 c^2 )
Simplificando mais:
Pronto! Agora nossa expressão para coincide com a fornecida no enunciado. Então, o potencial generalizado correto é:

Passo 8

Agora que temos o potencial L = T - U , podemos escrever a Lagrangiana T = 12 m ( dotr^2 + r^2 dottheta^2 ) , que é dada por:
L = 12 m ( dotr^2 + r^2 dottheta^2 ) - e e'r (1 + dotr^22 c^2 )
Onde é a energia cinética do sistema. Para uma partícula movendo-se em um plano com coordenadas polares , a energia cinética é:
Então, substituindo :

Passo 9

Finalmente, vamos escrever as equações de Lagrange para o movimento da carga. As equações de Euler-Lagrange são dadas por:
ddt ( partial Lpartial dotqi ) - partial Lpartial qi = 0
Onde partial Lpartial dotr = m dotr - e e'r c^2 dotr são as coordenadas generalizadas, no nosso caso ddt ( partial Lpartial dotr ) = m ddotr - e e'r c^2 ddotr + e e'r^2 c^2 dotr^2 e partial Lpartial r = m r dottheta^2 + e e'r^2 (1 + dotr^22 c^2 ) .
Primeiro, para a coordenada m ddotr - e e'r c^2 ddotr + e e'r^2 c^2 dotr^2 - m r dottheta^2 - e e'r^2 (1 + dotr^22 c^2 ) = 0 :
Calculamos as derivadas:
( m - e e'r c^2 ) ddotr + e e'r^2 c^2 dotr^2 - m r dottheta^2 - e e'r^2 (1 + dotr^22 c^2 ) = 0
partial Lpartial dottheta = m r^2 dottheta
ddt ( partial Lpartial dottheta ) = m ( 2 r dotr dottheta + r^2 ddottheta )
Aplicando a equação de Euler-Lagrange:
partial Lpartial theta = 0
Podemos simplificar essa equação agrupando os termos:
m ( 2 r dotr dottheta + r^2 ddottheta ) = 0
Agora, para a coordenada 2 dotr dottheta + r ddottheta = 0 :
Calculamos as derivadas:
Aplicando a equação de Euler-Lagrange:
Isso simplifica para:
Essa é a equação da conservação do momento angular.

Resposta

O potencial generalizado associado à força é
U(r, dotr) = e e'r (1 + dotr^22 c^2 )
A Lagrangiana do sistema é
L = 12 m ( dotr^2 + r^2 dottheta^2 ) - e e'r (1 + dotr^22 c^2 )
E as equações de Lagrange para o movimento são
Para ( m - e e'r c^2 ) ddotr + e e'r^2 c^2 dotr^2 - m r dottheta^2 - e e'r^2 (1 + dotr^22 c^2 ) = 0 :
2 dotr dottheta + r ddottheta = 0
Para :

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