Na eletrodinâmica de Weber a força entre duas cargas elétrica em movimento é dirigida ao longo da linha que as une e tem magnitude
onde
denota a distância entre as partículas carregadas e
é a velocidade da luz no vácuo. Determine o potencial generalizado
associado a essa força. Escreva a lagrangiana e as equações de Lagrange para o movimento num plano de uma carga na presença de outra carga fixa na origem do sistema de coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de eletrodinâmica de Weber que envolve encontrar o potencial generalizado associado a uma força entre duas cargas elétricas em movimento. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica clássica e Lagrangiana, além de manipular algumas fórmulas matemáticas. Vamos resolver passo a passo para ficar bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a força que está sendo dada:
Aqui,
e
são as cargas,
é a distância entre elas,
é a velocidade da luz,
é a velocidade relativa e
é a aceleração relativa. Queremos encontrar o potencial generalizado
que se relaciona com essa força.
Passo 3
Na mecânica Lagrangiana, o potencial generalizado
pode depender das coordenadas
e das velocidades
. A força
está relacionada ao potencial pela relação:
Isso significa que precisamos encontrar
tal que, ao derivarmos em relação a
e
, obtenhamos a força
dada.
Passo 4
Vamos assumir que o potencial
pode ser escrito como uma expansão em termos de
. Observando a força dada:
Podemos notar que há uma parte que depende apenas de
e outra que depende de
. Vamos propor um potencial na forma:
Passo 5
Vamos verificar se esse potencial satisfaz a relação com a força
. Primeiro, calculamos as derivadas necessárias.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada temporal dessa última expressão:
Passo 6
Agora, juntamos as partes para encontrar a força:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando:
Comparando essa expressão com a força original fornecida:
Vemos que há uma diferença de sinal, o que indica que precisamos ajustar nosso potencial.
Passo 7
Vamos corrigir o sinal do potencial proposto. Propondo:
Agora, repetindo os cálculos das derivadas:
Primeira derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Derivada temporal dessa última expressão:
Agora, juntando as partes:
Simplificando:
Organizando os termos:
Simplificando mais:
Pronto! Agora nossa expressão para
coincide com a fornecida no enunciado. Então, o potencial generalizado correto é:
Passo 8
Agora que temos o potencial
, podemos escrever a Lagrangiana
, que é dada por:
Onde
é a energia cinética do sistema. Para uma partícula movendo-se em um plano com coordenadas polares
, a energia cinética é:
Então, substituindo
:
Passo 9
Finalmente, vamos escrever as equações de Lagrange para o movimento da carga. As equações de Euler-Lagrange são dadas por:
Onde
são as coordenadas generalizadas, no nosso caso
e
.
Primeiro, para a coordenada
:
Calculamos as derivadas:
Aplicando a equação de Euler-Lagrange:
Podemos simplificar essa equação agrupando os termos:
Agora, para a coordenada
:
Calculamos as derivadas:
Aplicando a equação de Euler-Lagrange:
Isso simplifica para:
Essa é a equação da conservação do momento angular.
Resposta
O potencial generalizado associado à força é
A Lagrangiana do sistema é
E as equações de Lagrange para o movimento são
Para
:
Para
:
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.
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