Aplique o formalismo lagrangiano para obter as equações de movimento do pêndulo duplo plano com hastes de comprimento l1 e l2 e correspondentes massas iguais a m1 e m2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para aplicar o formalismo lagrangiano e obter as equações de movimento de um pêndulo duplo no plano. A gente vai trabalhar com hastes de comprimentos l1 e l2 e massas m1 e m2. Para isso, vamos precisar entender como montar a energia cinética e a energia potencial do sistema, e depois usar o Lagrange para achar as equações que descrevem o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas generalizadas. No pêndulo duplo, é comum usar os ângulos das hastes em relação à vertical. Vamos chamar de theta1 o ângulo da primeira haste ( l1) e de theta2 o ângulo da segunda haste ( l2).

Passo 3

Agora, vamos encontrar as posições das massas m1 e m2. A massa m1 está na extremidade da primeira haste, então suas coordenadas são:
x1 = l1 sin theta1
y1 = -l1 cos theta1
A massa m2 está pendurada na segunda haste, então suas coordenadas são:
x2 = x1 + l2 sin theta2 = l1 sin theta1 + l2 sin theta2
y2 = y1 - l2 cos theta2 = -l1 cos theta1 - l2 cos theta2

Passo 4

Agora, vamos calcular as velocidades das massas tomando a derivada das posições em relação ao tempo. Para m1:
dotx1 = l1 cos theta1 dottheta1
doty1 = l1 sin theta1 dottheta1
Para m2:
dotx2 = dotx1 + l2 cos theta2 dottheta2 = l1 cos theta1 dottheta1 + l2 cos theta2 dottheta2
doty2 = doty1 + l2 sin theta2 dottheta2 = l1 sin theta1 dottheta1 + l2 sin theta2 dottheta2

Passo 5

A energia cinética total T do sistema é a soma das energias cinéticas das duas massas:
T = 12 m1 (dotx1^2 + doty1^2) + 12 m2 (dotx2^2 + doty2^2)
Substituindo as expressões das velocidades:
T = 12 m1 ( (l1 cos theta1 dottheta1)^2 + (l1 sin theta1 dottheta1)^2 ) + 12 m2 ( (l1 cos theta1 dottheta1 + l2 cos theta2 dottheta2)^2 + (l1 sin theta1 dottheta1 + l2 sin theta2 dottheta2)^2 )
Simplificando:
T = 12 m1 l1^2 dottheta1^2 + 12 m2 ( l1^2 dottheta1^2 + l2^2 dottheta2^2 + 2 l1 l2 dottheta1 dottheta2 cos(theta1 - theta2) )

Passo 6

A energia potencial total V do sistema é a soma das energias potenciais das duas massas. Considerando que a energia potencial é zero na posição mais baixa:
V = -m1 g y1 - m2 g y2 = m1 g l1 cos theta1 + m2 g (l1 cos theta1 + l2 cos theta2)

Passo 7

Agora, montamos o Lagrangiano L, que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
L = T - V
Substituindo T e V:
L = 12 (m1 + m2) l1^2 dottheta1^2 + 12 m2 l2^2 dottheta2^2 + m2 l1 l2 dottheta1 dottheta2 cos(theta1 - theta2) - (m1 + m2) g l1 cos theta1 - m2 g l2 cos theta2)

Passo 8

Para encontrar as equações de movimento, usamos as equações de Euler-Lagrange:
ddt ( partial Lpartial dotthetai ) - partial Lpartial thetai = 0
Fazemos isso para i=1 e i=2.

Passo 9

Após calcular as derivadas necessárias e rearranjar os termos, chegamos às equações de movimento do pêndulo duplo:
(m1 + m2) l1 ddottheta1 + m2 l2 ddottheta2 cos(theta1 - theta2) + m2 l2 dottheta2^2 sin(theta1 - theta2) + (m1 + m2) g sin theta1 = 0
m2 l2 ddottheta2 + m2 l1 ddottheta1 cos(theta1 - theta2) - m2 l1 dottheta1^2 sin(theta1 - theta2) + m2 g sin theta2 = 0

Resposta

As equações de movimento do pêndulo duplo são:
(m1 + m2) l1 ddottheta1 + m2 l2 ddottheta2 cos(theta1 - theta2) + m2 l2 dottheta2^2 sin(theta1 - theta2) + (m1 + m2) g sin theta1 = 0
m2 l2 ddottheta2 + m2 l1 ddottheta1 cos(theta1 - theta2) - m2 l1 dottheta1^2 sin(theta1 - theta2) + m2 g sin theta2 = 0

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