Aplique o formalismo lagrangiano para obter as equações de movimento do pêndulo duplo plano com hastes de comprimento
e
e correspondentes massas iguais a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para aplicar o formalismo lagrangiano e obter as equações de movimento de um pêndulo duplo no plano. A gente vai trabalhar com hastes de comprimentos
e
e massas
e
. Para isso, vamos precisar entender como montar a energia cinética e a energia potencial do sistema, e depois usar o Lagrange para achar as equações que descrevem o movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas generalizadas. No pêndulo duplo, é comum usar os ângulos das hastes em relação à vertical. Vamos chamar de
o ângulo da primeira haste (
) e de
o ângulo da segunda haste (
).
Passo 3
Agora, vamos encontrar as posições das massas
e
. A massa
está na extremidade da primeira haste, então suas coordenadas são:
A massa
está pendurada na segunda haste, então suas coordenadas são:
Passo 4
Agora, vamos calcular as velocidades das massas tomando a derivada das posições em relação ao tempo. Para
:
Para
:
Passo 5
A energia cinética total
do sistema é a soma das energias cinéticas das duas massas:
Substituindo as expressões das velocidades:
Simplificando:
Passo 6
A energia potencial total
do sistema é a soma das energias potenciais das duas massas. Considerando que a energia potencial é zero na posição mais baixa:
Passo 7
Agora, montamos o Lagrangiano
, que é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Substituindo
e
:
Passo 8
Para encontrar as equações de movimento, usamos as equações de Euler-Lagrange:
Fazemos isso para
e
.
Passo 9
Após calcular as derivadas necessárias e rearranjar os termos, chegamos às equações de movimento do pêndulo duplo:
Resposta
As equações de movimento do pêndulo duplo são: