Obtenha as equações de Lagrange para um pêndulo esférico, ou seja, para uma massa suspensa por uma haste rígida sem massa não restrita a um plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer que eu te ajude a encontrar as equações de Lagrange para um pêndulo esférico. Basicamente, estamos falando de uma massa pendurada numa haste rígida e sem massa, que pode se mover livremente em qualquer direção, não só num plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica e entender como aplicar o princípio de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas adequado. Como o pêndulo pode se mover em todas as direções, é bom usar coordenadas esféricas. Assim, podemos descrever a posição da massa usando dois ângulos: o ângulo azimutal e o ângulo polar .

Passo 3

Agora, vamos escrever as coordenadas cartesianas da massa em termos de x = l sintheta cosphi e y = l sintheta sinphi :
z = -l costheta
Aqui, é o comprimento da haste.

Passo 4

Com as coordenadas definidas, precisamos encontrar as velocidades em cada direção. Para isso, derivamos dotx = l costheta cosphi , dottheta - l sintheta sinphi , dotphi , doty = l costheta sinphi , dottheta + l sintheta cosphi , dotphi e dotz = l sintheta , dottheta em relação ao tempo :

Passo 5

A energia cinética T = 12 m (dotx^2 + doty^2 + dotz^2) do sistema é dada por:
T = 12 m l^2 (dottheta^2 + sin^2theta , dotphi^2)
Substituindo , e nas equações, e simplificando, chegamos a:

Passo 6

A energia potencial V = m g z = -m g l costheta é devido à gravidade e é dada por:

Passo 7

O Lagrangiano L = T - V = 12 m l^2 (dottheta^2 + sin^2theta , dotphi^2) + m g l costheta é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:

Passo 8

Agora, aplicamos as equações de Lagrange, que dizem que:
ddt ( partial Lpartial dotqi ) - partial Lpartial qi = 0
onde são as coordenadas generalizadas, no nosso caso e .

Passo 9

Vamos calcular para partial Lpartial dottheta = m l^2 dottheta :
ddt ( m l^2 dottheta ) = m l^2 ddottheta
partial Lpartial theta = m l^2 sintheta costheta , dotphi^2 - m g l sintheta
m l^2 ddottheta - m l^2 sintheta costheta , dotphi^2 + m g l sintheta = 0
Aplicando a equação de Lagrange:
ddottheta - sintheta costheta , dotphi^2 + gl sintheta = 0
Simplificando:

Passo 10

Agora, para partial Lpartial dotphi = m l^2 sin^2theta , dotphi :
ddt ( m l^2 sin^2theta , dotphi ) = m l^2 (2 sintheta costheta , dottheta , dotphi + sin^2theta , ddotphi)
partial Lpartial phi = 0
m l^2 (2 sintheta costheta , dottheta , dotphi + sin^2theta , ddotphi) = 0
Aplicando a equação de Lagrange:
2 sintheta costheta , dottheta , dotphi + sin^2theta , ddotphi = 0
Simplificando:

Resposta

As equações de Lagrange para um pêndulo esférico são:
ddottheta - sintheta costheta , dotphi^2 + gl sintheta = 0
2 sintheta costheta , dottheta , dotphi + sin^2theta , ddotphi = 0

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