Obtenha as equações de Lagrange para um pêndulo esférico, ou seja, para uma massa suspensa por uma haste rígida sem massa não restrita a um plano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer que eu te ajude a encontrar as equações de Lagrange para um pêndulo esférico. Basicamente, estamos falando de uma massa pendurada numa haste rígida e sem massa, que pode se mover livremente em qualquer direção, não só num plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica e entender como aplicar o princípio de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas adequado. Como o pêndulo pode se mover em todas as direções, é bom usar coordenadas esféricas. Assim, podemos descrever a posição da massa usando dois ângulos: o ângulo azimutal
e o ângulo polar
.
Passo 3
Agora, vamos escrever as coordenadas cartesianas da massa em termos de
e
:
Aqui,
é o comprimento da haste.
Passo 4
Com as coordenadas definidas, precisamos encontrar as velocidades em cada direção. Para isso, derivamos
,
e
em relação ao tempo
:
Passo 5
A energia cinética
do sistema é dada por:
Substituindo
,
e
nas equações, e simplificando, chegamos a:
Passo 6
A energia potencial
é devido à gravidade e é dada por:
Passo 7
O Lagrangiano
é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Passo 8
Agora, aplicamos as equações de Lagrange, que dizem que:
onde
são as coordenadas generalizadas, no nosso caso
e
.
Passo 9
Vamos calcular para
:
Aplicando a equação de Lagrange:
Simplificando:
Passo 10
Agora, para
:
Aplicando a equação de Lagrange:
Simplificando:
Resposta
As equações de Lagrange para um pêndulo esférico são: