Obtenha as equações de Lagrange para um pêndulo esférico, ou seja, para uma massa suspensa por uma haste rígida sem massa não restrita a um plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer que eu te ajude a encontrar as equações de Lagrange para um pêndulo esférico. Basicamente, estamos falando de uma massa pendurada numa haste rígida e sem massa, que pode se mover livremente em qualquer direção, não só num plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica e entender como aplicar o princípio de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas adequado. Como o pêndulo pode se mover em todas as direções, é bom usar coordenadas esféricas. Assim, podemos descrever a posição da massa usando dois ângulos: o ângulo azimutal e o ângulo polar .

Passo 3

Agora, vamos escrever as coordenadas cartesianas da massa em termos de e :
Aqui, é o comprimento da haste.

Passo 4

Com as coordenadas definidas, precisamos encontrar as velocidades em cada direção. Para isso, derivamos , e em relação ao tempo :

Passo 5

A energia cinética do sistema é dada por:
Substituindo , e nas equações, e simplificando, chegamos a:

Passo 6

A energia potencial é devido à gravidade e é dada por:

Passo 7

O Lagrangiano é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:

Passo 8

Agora, aplicamos as equações de Lagrange, que dizem que:
onde são as coordenadas generalizadas, no nosso caso e .

Passo 9

Vamos calcular para :
Aplicando a equação de Lagrange:
Simplificando:

Passo 10

Agora, para :
Aplicando a equação de Lagrange:
Simplificando:

Resposta

As equações de Lagrange para um pêndulo esférico são:

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