Obtenha as equações de Lagrange para um pêndulo esférico, ou seja, para uma massa suspensa por uma haste rígida sem massa não restrita a um plano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer que eu te ajude a encontrar as equações de Lagrange para um pêndulo esférico. Basicamente, estamos falando de uma massa pendurada numa haste rígida e sem massa, que pode se mover livremente em qualquer direção, não só num plano. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica e entender como aplicar o princípio de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas adequado. Como o pêndulo pode se mover em todas as direções, é bom usar coordenadas esféricas. Assim, podemos descrever a posição da massa usando dois ângulos: o ângulo azimutal
e o ângulo polar
.
Passo 3
Agora, vamos escrever as coordenadas cartesianas da massa em termos de
e
:
Aqui,
é o comprimento da haste.
Passo 4
Com as coordenadas definidas, precisamos encontrar as velocidades em cada direção. Para isso, derivamos
,
e
em relação ao tempo
:
Passo 5
A energia cinética
do sistema é dada por:
Substituindo
,
e
nas equações, e simplificando, chegamos a:
Passo 6
A energia potencial
é devido à gravidade e é dada por:
Passo 7
O Lagrangiano
é a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Passo 8
Agora, aplicamos as equações de Lagrange, que dizem que:
onde
são as coordenadas generalizadas, no nosso caso
e
.
Passo 9
Vamos calcular para
:
Aplicando a equação de Lagrange:
Simplificando:
Passo 10
Agora, para
:
Aplicando a equação de Lagrange:
Simplificando:
Resposta
As equações de Lagrange para um pêndulo esférico são:
Exercícios relacionados
Se
é a lagrangiana para um sistema de
graus de liberdade que satisfaz as equações de Lagrange, mostre que uma substituição direta
também satifaz as equações de Lagrange onde
é qualquer arbitrária, porém diferenciável, função dos seus argumentos. Esse resultado nos mostra que a Lagrangiana para um dado sistema não é única.
Uma partícula cai verticalmente sob a ação da gravidade. Supondo que a força de resistência do ar seja proporcional à velocidade, obtenha a equação de movimento da partícula com a ajuda da função de dissipação
. Determine a velocidade com função do tempo e prove que a maior velocidade possível para a queda a partir do repouso é
.
Aplique o formalismo lagrangiano para obter as equações de movimento do pêndulo duplo plano com hastes de comprimento
e
e correspondentes massas iguais a
.
Na eletrodinâmica de Weber a força entre duas cargas elétrica em movimento é dirigida ao longo da linha que as une e tem magnitude
onde
denota a distância entre as partículas carregadas e
é a velocidade da luz no vácuo. Determine o potencial generalizado
associado a essa força. Escreva a lagrangiana e as equações de Lagrange para o movimento num plano de uma carga na presença de outra carga fixa na origem do sistema de coordenadas.