O elétron em um átomo de hidrogênio ocupa o estado combinado de posição e spin
(h) Se medirmos ambas a componente
do spin e a distância da origem do sistema de coordenadas (as quais são observáveis compatíveis - se quiser ter certeza, mostre), qual é a densidade de probabilidade para encontrarmos a partícula com spin up na posição com raio
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elétron no átomo de hidrogênio que está em um estado combinado de posição e spin. O que precisamos fazer aqui é calcular a densidade de probabilidade de encontrar esse elétron com o spin para cima e a uma certa distância $ r $ da origem. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como funções de onda, probabilidades e a combinação de estados de spin e posição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de estado dada:
Aqui, $ R_{21} $ é a parte radial da função de onda do átomo de hidrogênio, $ Y_{l}^{m} $ são os harmônicos esféricos que descrevem a parte angular da função de onda, e $ \chi_{+} $ e $ \chi_{-} $ são os estados de spin para cima e para baixo, respectivamente.
Passo 3
Como queremos a probabilidade de encontrar o elétron com o spin para cima ($ \chi_{+} $), vamos focar apenas no termo que contém $ \chi_{+} $ na função de estado. Observamos que esse termo é:
Os outros termos com $ \chi_{-} $ não contribuem para a probabilidade de encontrar o spin para cima.
Passo 4
A densidade de probabilidade $ \rho® $ para encontrar o elétron em uma posição $ r $ com spin para cima é dada pelo quadrado do módulo da função de onda correspondente a esse estado. Ou seja:
Simplificando, temos:
Passo 5
Sabemos que os harmônicos esféricos $ Y_{l}^{m} $ são funções normalizadas, e para $ Y_{1}^{0} $ temos:
Portanto, substituindo na expressão da densidade de probabilidade:
Passo 6
Como queremos a densidade de probabilidade apenas em função de $ r $ (distância da origem), devemos considerar uma média sobre os ângulos $ \theta $ e $ \phi $. A média de $ \cos^{2}\theta $ sobre a esfera é $ \frac{1}{3} $. Então:
Resposta
A densidade de probabilidade de encontrar o elétron com spin para cima na posição com raio $ r $ é