O elétron em um átomo de hidrogênio ocupa o estado combinado de posição e spin
R21(raiz1 / 3 Y1^0 chi++raiz2 / 3 Y1^1 chi-)
(h) Se medirmos ambas a componente z do spin e a distância da origem do sistema de coordenadas (as quais são observáveis compatíveis - se quiser ter certeza, mostre), qual é a densidade de probabilidade para encontrarmos a partícula com spin up na posição com raio r?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elétron no átomo de hidrogênio que está em um estado combinado de posição e spin. O que precisamos fazer aqui é calcular a densidade de probabilidade de encontrar esse elétron com o spin para cima e a uma certa distância $ r $ da origem. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como funções de onda, probabilidades e a combinação de estados de spin e posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de estado dada:
R21(raiz13 Y1^0 chi+ + raiz23 Y1^1 chi-)
Aqui, $ R_{21} $ é a parte radial da função de onda do átomo de hidrogênio, $ Y_{l}^{m} $ são os harmônicos esféricos que descrevem a parte angular da função de onda, e $ \chi_{+} $ e $ \chi_{-} $ são os estados de spin para cima e para baixo, respectivamente.

Passo 3

Como queremos a probabilidade de encontrar o elétron com o spin para cima ($ \chi_{+} $), vamos focar apenas no termo que contém $ \chi_{+} $ na função de estado. Observamos que esse termo é:
chi+
Os outros termos com $ \chi_{-} $ não contribuem para a probabilidade de encontrar o spin para cima.

Passo 4

A densidade de probabilidade $ \rho® $ para encontrar o elétron em uma posição $ r $ com spin para cima é dada pelo quadrado do módulo da função de onda correspondente a esse estado. Ou seja:
rho(r)
Simplificando, temos:
r

Passo 5

Sabemos que os harmônicos esféricos $ Y_{l}^{m} $ são funções normalizadas, e para $ Y_{1}^{0} $ temos:
Yl^m
Portanto, substituindo na expressão da densidade de probabilidade:
Y1^0

Passo 6

Como queremos a densidade de probabilidade apenas em função de $ r $ (distância da origem), devemos considerar uma média sobre os ângulos $ \theta $ e $ \phi $. A média de $ \cos^{2}\theta $ sobre a esfera é $ \frac{1}{3} $. Então:
r

Resposta

A densidade de probabilidade de encontrar o elétron com spin para cima na posição com raio $ r $ é
r

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