Um elétron está confinado num poço infinito cuja largura é 120 pm, aproximadamente o diâmetro de um átomo. Quais são as energias dos estados fundamental e primeiro estado excitado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um elétron preso num “poço” com largura de 120 pm, que é basicamente o diâmetro de um átomo. O que a gente quer descobrir são as energias dos estados fundamental (o mais baixo) e do primeiro estado excitado (o próximo de mais baixo). Para isso, vamos usar a teoria quântica de partículas confinadas, especificamente o modelo de “partícula na caixa”.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula que dá as energias dos estados de um elétron numa caixa infinita. A fórmula é:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
Aqui:
  • é a energia do estado .
  • é o número do estado (1 para o fundamental, 2 para o primeiro excitado, etc.).
  • é a constante Pi.
  • (h-bar) é a constante de Planck reduzida, aproximadamente J·s.
  • é a massa do elétron, cerca de kg.
  • é a largura do poço, que é 120 pm ou metros.

Passo 3

Vamos calcular a energia do estado fundamental ( E1 = 1^2 pi^2 (1,0545718 times 10^-34)^22 times 9,10938356 times 10^-31 times (120 times 10^-12)^2 ) primeiro. Substituindo os valores na fórmula:
(1,0545718 times 10^-34)^2 = 1,112 times 10^-68 J^2s^2
Vamos resolver isso passo a passo:
  1. Calcular 2 times 9,10938356 times 10^-31 times (120 times 10^-12)^2 = 2 times 9,10938356 times 10^-31 times 1,44 times 10^-20 = 2,619 times 10^-50 :
    E1 = pi^2 times 1,112 times 10^-68 2,619 times 10^-50 approx 3,490 times 10^-68 2,619 times 10^-50 approx 1,332 times 10^-18 J
  2. Calcular o denominador:
    E1 approx 1,332 times 10^-181,602 times 10^-19 approx 8,31 eV
  3. Colocar tudo junto:
  4. Converter para elétron-volts (1 eV = J):

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia do primeiro estado excitado ( E2 = 2^2 pi^2 hbar^22 m L^2 = 4 times E1 ). A fórmula é a mesma, mas com E2 = 4 times 8,31 eV approx 33,24 eV :
Então:

Resposta

As energias dos estados são aproximadamente 8,31 eV para o estado fundamental e 33,24 eV para o primeiro estado excitado.

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