Um elétron está confinado num poço infinito cuja largura é 120 pm, aproximadamente o diâmetro de um átomo. Quais são as energias dos estados fundamental e primeiro estado excitado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um elétron preso num “poço” com largura de 120 pm, que é basicamente o diâmetro de um átomo. O que a gente quer descobrir são as energias dos estados fundamental (o mais baixo) e do primeiro estado excitado (o próximo de mais baixo). Para isso, vamos usar a teoria quântica de partículas confinadas, especificamente o modelo de “partícula na caixa”.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da fórmula que dá as energias dos estados de um elétron numa caixa infinita. A fórmula é:
Aqui:
-
é a energia do estado . -
é o número do estado (1 para o fundamental, 2 para o primeiro excitado, etc.). -
é a constante Pi. -
(h-bar) é a constante de Planck reduzida, aproximadamente J·s. -
é a massa do elétron, cerca de kg. -
é a largura do poço, que é 120 pm ou metros.
Passo 3
Vamos calcular a energia do estado fundamental (
) primeiro. Substituindo os valores na fórmula:
Vamos resolver isso passo a passo:
-
Calcular
: -
Calcular o denominador:
-
Colocar tudo junto:
-
Converter para elétron-volts (1 eV =
J):
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia do primeiro estado excitado (
). A fórmula é a mesma, mas com
:
Então:
Resposta
As energias dos estados são aproximadamente 8,31 eV para o estado fundamental e 33,24 eV para o primeiro estado excitado.