Um elétron está confinado numa caixa unidimensional de comprimento 0,100 nm. (a) Ache a energia do . estado fundamental. (b) Ache a energia dos quatro estados de energia mais baixos, e desenhe um diagrama de níveis de energia. © Ache o comprimento de onda dos fótons emitidos para todas as transições do estado n=3 para estados de energia mais baixa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um elétron preso numa caixa unidimensional de 0,100 nm. A matéria envolve conceitos de física quântica, especificamente o modelo da partícula na caixa. Para resolver, vamos precisar das fórmulas dos níveis de energia quantizados e das relações para calcular o comprimento de onda dos fótons emitidos durante as transições de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia do estado fundamental, que é o estado de menor energia possível do elétron na caixa. No modelo da partícula na caixa, a energia dos níveis é dada por:
En = n^2 h^28 m L^2
Onde:
  • E1 = 1^2 times (6,626 times 10^-34)^28 times 9,109 times 10^-31 times (0,100 times 10^-9)^2 é a energia do nível
  • é o número quântico (1 para o estado fundamental)
  • é a constante de Planck ( )
  • é a massa do elétron ( )
  • é o comprimento da caixa ( )
Vamos calcular para :

Passo 3

Resolvendo a conta:
E1 = (6,626 times 10^-34)^28 times 9,109 times 10^-31 times 1,0 times 10^-20
E1 = 4,39 times 10^-677,287 times 10^-50
E1 approx 6,03 times 10^-18 , J
Para converter para elétron-volts (eV), usamos E1 approx 6,03 times 10^-181,602 times 10^-19 approx 37,6 , eV :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as energias dos quatro estados de energia mais baixos, ou seja, para En = E1 times n^2 .
Usando a mesma fórmula:
Calculando:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Vamos desenhar um diagrama de níveis de energia representando esses quatro estados:
Energia (eV)
|
|       E4
|       
|       E3
|
|       E2
|
|       E1
|
+--------------------------
Cada nível acima representa um estado quântico com a energia correspondente.

Passo 6

Por último, vamos calcular o comprimento de onda dos fótons emitidos durante as transições do estado De para estados de energia mais baixos ( lambda = hcDe e De).
A energia do fóton emitido é a diferença entre os níveis:
lambda = 4,1357 times 10^-15 , eV·s times 3,00 times 10^8 , m/s188,0 , eV approx 6,587 times 10^-7 , m = 658,7 , nm
E a relação com o comprimento de onda De é:
lambda = 4,1357 times 10^-15 times 3,00 times 10^8300,8 approx 4,128 times 10^-7 , m = 412,8 , nm
Onde:
  • é a velocidade da luz ( )
Vamos calcular para cada transição:
Transição de para :
Transição de para :

Resposta

(a) A energia do estado fundamental é aproximadamente .
(b) As quatro energias mais baixas são:
© Os comprimentos de onda dos fótons emitidos nas transições do estado são:
  • De para :
  • De para :

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