Um elétron está confinado numa caixa unidimensional de comprimento
. (a) Ache a energia do . estado fundamental. (b) Ache a energia dos quatro estados de energia mais baixos, e desenhe um diagrama de níveis de energia. © Ache o comprimento de onda dos fótons emitidos para todas as transições do estado n=3 para estados de energia mais baixa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um elétron preso numa caixa unidimensional de 0,100 nm. A matéria envolve conceitos de física quântica, especificamente o modelo da partícula na caixa. Para resolver, vamos precisar das fórmulas dos níveis de energia quantizados e das relações para calcular o comprimento de onda dos fótons emitidos durante as transições de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia do estado fundamental, que é o estado de menor energia possível do elétron na caixa. No modelo da partícula na caixa, a energia dos níveis é dada por:
Onde:
-
é a energia do nível -
é o número quântico (1 para o estado fundamental) -
é a constante de Planck ( ) -
é a massa do elétron ( ) -
é o comprimento da caixa ( )
Vamos calcular para
:
Passo 3
Resolvendo a conta:
Para converter para elétron-volts (eV), usamos
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as energias dos quatro estados de energia mais baixos, ou seja, para
.
Usando a mesma fórmula:
Calculando:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 5
Vamos desenhar um diagrama de níveis de energia representando esses quatro estados:
Energia (eV)
|
| E4
|
| E3
|
| E2
|
| E1
|
+--------------------------
Cada nível acima representa um estado quântico com a energia correspondente.
Passo 6
Por último, vamos calcular o comprimento de onda dos fótons emitidos durante as transições do estado
para estados de energia mais baixos (
e
).
A energia do fóton emitido é a diferença entre os níveis:
E a relação com o comprimento de onda
é:
Onde:
-
é a velocidade da luz ( )
Vamos calcular para cada transição:
Transição de
para
:
Transição de
para
:
Resposta
(a) A energia do estado fundamental é aproximadamente
.
(b) As quatro energias mais baixas são:
© Os comprimentos de onda dos fótons emitidos nas transições do estado
são:
- De
para : - De
para :