Um elétron com uma energia cinética de 2,5 keV, movendo-se em linha reta no sentido positivo do eixo x, penetra em uma região onde existe um campo elétrico uniforme de módulo 10 kV / m orientado no sentido negativo do eixo y. Deseja-se aplicar um campo B na mesma região para que o elétron continue a se mover em linha reta, e a direção de B deve ser tal que o módulo de B seja o menor possível. Em termos dos vetores unitários, qual deve ser o campo B ?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um elétron com energia cinética de que está se movendo na direção positiva do eixo . Ele entra numa região onde tem um campo elétrico uniforme de apontando para o sentido negativo do eixo . A missão é aplicar um campo magnético nessa mesma região, de forma que o elétron continue na linha reta, e queremos que seja o menor possível. Vamos precisar usar conceitos de força eletromagnética e movimento de partículas carregadas em campos elétricos e magnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a força que atua sobre o elétron quando ele está em campos elétrico e magnético. A força total F = q(E + v times B) é dada por:
F = 0 Rightarrow E + v times B = 0
Aqui, é a carga do elétron, é o campo elétrico, é a velocidade do elétron, e é o campo magnético. Queremos que o elétron continue na linha reta, ou seja, que a força total seja zero:

Passo 3

Agora, vamos organizar essa equação para encontrar v times B = -E :
Nosso objetivo é encontrar que satisfaça essa equação. Para isso, precisamos conhecer a direção e o módulo de e .

Passo 4

Sabemos que o elétron está se movendo na direção positiva de v = v, i , então podemos representar a velocidade E = -10, kV/m, j como:
E o campo elétrico está no sentido negativo de :

Passo 5

Vamos agora calcular a velocidade do elétron a partir da energia cinética dada. A energia cinética ( K = 12 m v^2 ) está relacionada à velocidade pela fórmula:
2,5, keV = 2,5 times 10^3 times 1,602 times 10^-19, J = 4,005 times 10^-16, J
Onde v = raiz2Km é a massa do elétron. Primeiro, precisamos converter a energia cinética de v = raiz2 times 4,005 times 10^-16, J9,109 times 10^-31, kg approx 2,97 times 10^7, m/s para :
Então, rearranjando a fórmula para :
Sabendo que a massa do elétron ( ) é aproximadamente , temos:

Passo 6

Agora que temos B = Bx, i + By, j + Bz, k e v times B = v i times (Bx i + By j + Bz k) = v (0, i + Bz, j - By, k) , vamos usar a equação v Bz, j - v By, k = 10, kV/m, j para encontrar v Bz = 10, kV/m - v By = 0 . Vamos expressar em termos dos vetores unitários , e :
Calculando o produto vetorial :
Igualando a :
Isso nos dá duas equações:

Passo 7

Resolvendo as equações:
  1. De Bz = 10 times 10^3, V/m2,97 times 10^7, m/s approx 3,37 times 10^-4, T :
By = 0
  1. De Bx = 0 :
E como não há componente na direção , temos:

Resposta

Portanto, o campo magnético B = 3,37 times 10^-4, k, T necessário é:

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