Um elétron com uma energia cinética de
, movendo-se em linha reta no sentido positivo do eixo
, penetra em uma região onde existe um campo elétrico uniforme de módulo
orientado no sentido negativo do eixo
. Deseja-se aplicar um campo
na mesma região para que o elétron continue a se mover em linha reta, e a direção de
deve ser tal que o módulo de
seja o menor possível. Em termos dos vetores unitários, qual deve ser o campo
?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um elétron com energia cinética de
que está se movendo na direção positiva do eixo
. Ele entra numa região onde tem um campo elétrico uniforme de
apontando para o sentido negativo do eixo
. A missão é aplicar um campo magnético
nessa mesma região, de forma que o elétron continue na linha reta, e queremos que
seja o menor possível. Vamos precisar usar conceitos de força eletromagnética e movimento de partículas carregadas em campos elétricos e magnéticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a força que atua sobre o elétron quando ele está em campos elétrico e magnético. A força total
é dada por:
Aqui,
é a carga do elétron,
é o campo elétrico,
é a velocidade do elétron, e
é o campo magnético. Queremos que o elétron continue na linha reta, ou seja, que a força total seja zero:
Passo 3
Agora, vamos organizar essa equação para encontrar
:
Nosso objetivo é encontrar
que satisfaça essa equação. Para isso, precisamos conhecer a direção e o módulo de
e
.
Passo 4
Sabemos que o elétron está se movendo na direção positiva de
, então podemos representar a velocidade
como:
E o campo elétrico
está no sentido negativo de
:
Passo 5
Vamos agora calcular a velocidade do elétron a partir da energia cinética dada. A energia cinética (
) está relacionada à velocidade pela fórmula:
Onde
é a massa do elétron. Primeiro, precisamos converter a energia cinética de
para
:
Então, rearranjando a fórmula para
:
Sabendo que a massa do elétron (
) é aproximadamente
, temos:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos usar a equação
para encontrar
. Vamos expressar
em termos dos vetores unitários
,
e
:
Calculando o produto vetorial
:
Igualando a
:
Isso nos dá duas equações:
Passo 7
Resolvendo as equações:
- De
:
- De
:
E como não há componente na direção
, temos:
Resposta
Portanto, o campo magnético
necessário é:
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e
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.
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