Um elétron com uma energia cinética de , movendo-se em linha reta no sentido positivo do eixo , penetra em uma região onde existe um campo elétrico uniforme de módulo orientado no sentido negativo do eixo . Deseja-se aplicar um campo na mesma região para que o elétron continue a se mover em linha reta, e a direção de deve ser tal que o módulo de seja o menor possível. Em termos dos vetores unitários, qual deve ser o campo ?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um elétron com energia cinética de que está se movendo na direção positiva do eixo . Ele entra numa região onde tem um campo elétrico uniforme de apontando para o sentido negativo do eixo . A missão é aplicar um campo magnético nessa mesma região, de forma que o elétron continue na linha reta, e queremos que seja o menor possível. Vamos precisar usar conceitos de força eletromagnética e movimento de partículas carregadas em campos elétricos e magnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a força que atua sobre o elétron quando ele está em campos elétrico e magnético. A força total é dada por:
Aqui, é a carga do elétron, é o campo elétrico, é a velocidade do elétron, e é o campo magnético. Queremos que o elétron continue na linha reta, ou seja, que a força total seja zero:

Passo 3

Agora, vamos organizar essa equação para encontrar :
Nosso objetivo é encontrar que satisfaça essa equação. Para isso, precisamos conhecer a direção e o módulo de e .

Passo 4

Sabemos que o elétron está se movendo na direção positiva de , então podemos representar a velocidade como:
E o campo elétrico está no sentido negativo de :

Passo 5

Vamos agora calcular a velocidade do elétron a partir da energia cinética dada. A energia cinética ( ) está relacionada à velocidade pela fórmula:
Onde é a massa do elétron. Primeiro, precisamos converter a energia cinética de para :
Então, rearranjando a fórmula para :
Sabendo que a massa do elétron ( ) é aproximadamente , temos:

Passo 6

Agora que temos e , vamos usar a equação para encontrar . Vamos expressar em termos dos vetores unitários , e :
Calculando o produto vetorial :
Igualando a :
Isso nos dá duas equações:

Passo 7

Resolvendo as equações:
  1. De :
  1. De :
E como não há componente na direção , temos:

Resposta

Portanto, o campo magnético necessário é:

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