Um elétron está localizado em uma região unidimensional de comprimento l limitada por paredes infinitas. A partir do princípio da incerteza de Heisenberg, mostre que a força que o elétron exerce sobre as paredes quando possui a mínima energia é proporcional à hbar^2m^3, em que hbar é a constante reduzida de Planck e m a massa do elétron.

Passo 1

Então, a gente tem um elétron preso em uma região unidimensional de comprimento com paredes infinitas. A ideia aqui é usar o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que é um conceito da mecânica quântica, para descobrir a força que esse elétron exerce nas paredes quando ele está com a mínima energia possível. Precisamos mostrar que essa força é proporcional a , onde é a constante reduzida de Planck e é a massa do elétron.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Princípio da Incerteza de Heisenberg. Ele nos diz que não dá para saber exatamente ao mesmo tempo a posição ( De= hbar2 ) e o momento ( ) de uma partícula. A relação é dada por:
Como o elétron está confinado em uma região de tamanho , podemos considerar que a incerteza na posição é aproximadamente .

Passo 3

Usando a relação do princípio da incerteza, podemos encontrar a incerteza no momento De= hbar2l :
Isso significa que o elétron tem pelo menos esse momento devido à sua confina��ão.

Passo 4

Agora, vamos relacionar essa incerteza no momento com a energia cinética ( E = p^22m ) do elétron. Sabemos que a energia cinética é dada por:
E approx (De= (hbar)^28ml^2
Como estamos considerando a mínima energia, vamos usar a incerteza mínima no momento:

Passo 5

Para encontrar a força ( F = -dEdl ) que o elétron exerce sobre as paredes, lembramos que força está relacionada à energia e ao deslocamento através da relação:
E = hbar^28ml^2 Rightarrow dEdl = -hbar^24ml^3
Vamos derivar a expressão da energia em relação a F = hbar^24ml^3 :
Portanto, a força é:

Resposta

A força que o elétron exerce sobre as paredes quando possui a mínima energia é proporcional a .

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