Um elétron está localizado em uma região unidimensional de comprimento
limitada por paredes infinitas. A partir do princípio da incerteza de Heisenberg, mostre que a força que o elétron exerce sobre as paredes quando possui a mínima energia é proporcional à
, em que
é a constante reduzida de Planck e
a massa do elétron.
Passo 1
Então, a gente tem um elétron preso em uma região unidimensional de comprimento
com paredes infinitas. A ideia aqui é usar o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que é um conceito da mecânica quântica, para descobrir a força que esse elétron exerce nas paredes quando ele está com a mínima energia possível. Precisamos mostrar que essa força é proporcional a
, onde
é a constante reduzida de Planck e
é a massa do elétron.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Princípio da Incerteza de Heisenberg. Ele nos diz que não dá para saber exatamente ao mesmo tempo a posição (
) e o momento (
) de uma partícula. A relação é dada por:
Como o elétron está confinado em uma região de tamanho
, podemos considerar que a incerteza na posição
é aproximadamente
.
Passo 3
Usando a relação do princípio da incerteza, podemos encontrar a incerteza no momento
:
Isso significa que o elétron tem pelo menos esse momento devido à sua confina��ão.
Passo 4
Agora, vamos relacionar essa incerteza no momento com a energia cinética (
) do elétron. Sabemos que a energia cinética é dada por:
Como estamos considerando a mínima energia, vamos usar a incerteza mínima no momento:
Passo 5
Para encontrar a força (
) que o elétron exerce sobre as paredes, lembramos que força está relacionada à energia e ao deslocamento através da relação:
Vamos derivar a expressão da energia em relação a
:
Portanto, a força é:
Resposta
A força que o elétron exerce sobre as paredes quando possui a mínima energia é proporcional a
.
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.
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