Um íon hidrogenoide está excitado no estado n. O espectro desse íon possui 15 comprimentos de onda. O fóton mais energético emitido possui energia 119 eV . Determine qual o hidrogenoide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um íon hidrogenoide que está no estado excitado . A gente sabe que o espectro desse íon tem 15 comprimentos de onda diferentes e que o fóton mais energético emitido tem uma energia de 119 eV. Nosso objetivo é descobrir de qual hidrogenoide estamos falando, ou seja, qual é o número atômico desse íon.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um íon hidrogenoide. São íons que têm apenas um elétron, assim como o hidrogênio, mas com um núcleo que pode ter diferentes números de prótons . Exemplos são , , etc. A energia dos elétrons nesses íons depende do número de prótons no núcleo.

Passo 3

O próximo passo é relacionar o número de comprimentos de onda no espectro com as transições de energia que o elétron pode fazer. Para um íon hidrogenoide, o número de linhas espectrais (comprimentos de onda) é dado pela fórmula:
N = n(n - 1)2
Onde é o número de linhas espectrais e é o nível de energia do qual o elétron está excitado.

Passo 4

Sabemos que 15 = n(n - 1)2 . Vamos usar a fórmula para encontrar 30 = n(n - 1) :
n^2 - n - 30 = 0
Multiplicando ambos os lados por 2:
n = 1 pm raiz1 + 1202 = 1 pm raiz1212 = 1 pm 112
Resolvendo a equação quadrática:
n = 122 = 6
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como deve ser positivo:
Então, o elétron está no nível de energia .

Passo 5

Agora, vamos usar a energia do fóton mais energético emitido para encontrar o número atômico De. A energia máxima do fóton ocorre na transição do estado En = -13,6 cdot Z^2 ( 1n^2 ) eV para De.
A energia dessa transição é dada por:
De
Para um íon hidrogenoide, a energia dos níveis é:
13,6 cdot Z^2 cdot 11900 = 119
Então,
Simplificando:
Sabendo que eV:

Passo 6

Vamos resolver para Z^2 = 119 cdot 90013,6 cdot 11 = 107100149,6 approx 716,6 :
Z approx raiz716,6 approx 26,8
Então,
Como deve ser um número inteiro, arredondamos para .

Resposta

O hidrogenoide em questão é o íon .

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