Um íon hidrogenoide está excitado no estado
. O espectro desse íon possui 15 comprimentos de onda. O fóton mais energético emitido possui energia 119 eV . Determine qual o hidrogenoide.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um íon hidrogenoide que está no estado excitado
. A gente sabe que o espectro desse íon tem 15 comprimentos de onda diferentes e que o fóton mais energético emitido tem uma energia de 119 eV. Nosso objetivo é descobrir de qual hidrogenoide estamos falando, ou seja, qual é o número atômico
desse íon.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um íon hidrogenoide. São íons que têm apenas um elétron, assim como o hidrogênio, mas com um núcleo que pode ter diferentes números de prótons
. Exemplos são
,
, etc. A energia dos elétrons nesses íons depende do número de prótons no núcleo.
Passo 3
O próximo passo é relacionar o número de comprimentos de onda no espectro com as transições de energia que o elétron pode fazer. Para um íon hidrogenoide, o número de linhas espectrais (comprimentos de onda) é dado pela fórmula:
Onde
é o número de linhas espectrais e
é o nível de energia do qual o elétron está excitado.
Passo 4
Sabemos que
. Vamos usar a fórmula para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como
deve ser positivo:
Então, o elétron está no nível de energia
.
Passo 5
Agora, vamos usar a energia do fóton mais energético emitido para encontrar o número atômico
. A energia máxima do fóton ocorre na transição do estado
para
.
A energia dessa transição é dada por:
Para um íon hidrogenoide, a energia dos níveis é:
Então,
Simplificando:
Sabendo que
eV:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Então,
Como
deve ser um número inteiro, arredondamos para
.
Resposta
O hidrogenoide em questão é o íon
.