Na molécula de iodeto de potássio (K I), suponha que os átomos K e I se ligam ionicamente pela transferência de um elétron de K a I. (d) Calcule a constante de força para pequenas oscilações em r=r0. Sugestão: Tome r=r0+s, onde s / r0 ll 1, e expanda U(r) nas potências de s / r0 para termos de segunda ordem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a molécula de iodeto de potássio ( KI), onde o potássio ( K) e o iodo ( I) se ligam de forma iônica, ou seja, o K doa um elétron para o I. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a constante de força para oscilações pequenas ao redor da distância de equilíbrio r0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre oscilações e energia potencial, além de expandir a função de potencial U(r) em série de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que a distância entre os átomos está um pouquinho fora do equilíbrio. Isso quer dizer que podemos escrever a distância r como:
r = r0 + s
Aqui, s é uma pequena variação em torno de r0, e a gente assume que s / r0 ll 1, ou seja, s é bem menor que r0. Isso nos permite fazer uma aproximação na expansão da energia potencial.

Passo 3

Agora, vamos expandir a energia potencial U(r) em torno de r0 usando a série de Taylor. Como s é pequeno, a gente pode cortar a série depois do termo de segunda ordem:
U(r) approx U(r0) + ( dUdr )r=r0 s + 12 ( d^2 Udr^2 )r=r0 s^2
Mas, no ponto de equilíbrio r0, a derivada primeira da energia potencial é zero, ou seja:
( dUdr )r=r0 = 0
Então, a expressão fica mais simples:
U(r) approx U(r0) + 12 ( d^2 Udr^2 )r=r0 s^2

Passo 4

A gente sabe que para pequenas oscilações, o sistema pode ser aproximado por um oscilador harmônico, onde a energia potencial tem a forma:
U(s) = 12 k s^2
Comparando com a expansão que fizemos, vemos que:
k = ( d^2 Udr^2 )r=r0
Então, a constante de força k é igual à segunda derivada da energia potencial em relação a r, avaliada no ponto de equilíbrio r0.

Passo 5

Para encontrar k, precisamos calcular a segunda derivada da energia potencial U(r) em r0. Isso geralmente envolve conhecer a forma explícita de U(r). No caso de uma ligação iônica como a do KI, a energia potencial pode ser aproximada por uma Lei de Coulomb para interação entre cargas:
U(r) = -ke ZK ZI e^2r
Onde:
  • ke é a constante eletrostática,
  • ZK e ZI são as cargas efetivas dos íons K e I,
  • e é a carga elemental.
Calculando a segunda derivada:
dUdr = ke ZK ZI e^2r^2
d^2 Udr^2 = -2 ke ZK ZI e^2r^3
Avaliando em r = r0:
k = ( d^2 Udr^2 )r=r0 = -2 ke ZK ZI e^2r0^3

Resposta

A constante de força para pequenas oscilações em r = r0 é:
k = 2 ke ZK ZI e^2r0^3

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