Na molécula de iodeto de potássio
, suponha que os átomos
e
se ligam ionicamente pela transferência de um elétron de
a
. (d) Calcule a constante de força para pequenas oscilações em
. Sugestão: Tome
, onde
, e expanda
nas potências de
para termos de segunda ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a molécula de iodeto de potássio (
), onde o potássio (
) e o iodo (
) se ligam de forma iônica, ou seja, o
doa um elétron para o
. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a constante de força para oscilações pequenas ao redor da distância de equilíbrio
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre oscilações e energia potencial, além de expandir a função de potencial
em série de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que a distância entre os átomos está um pouquinho fora do equilíbrio. Isso quer dizer que podemos escrever a distância
como:
Aqui,
é uma pequena variação em torno de
, e a gente assume que
, ou seja,
é bem menor que
. Isso nos permite fazer uma aproximação na expansão da energia potencial.
Passo 3
Agora, vamos expandir a energia potencial
em torno de
usando a série de Taylor. Como
é pequeno, a gente pode cortar a série depois do termo de segunda ordem:
Mas, no ponto de equilíbrio
, a derivada primeira da energia potencial é zero, ou seja:
Então, a expressão fica mais simples:
Passo 4
A gente sabe que para pequenas oscilações, o sistema pode ser aproximado por um oscilador harmônico, onde a energia potencial tem a forma:
Comparando com a expansão que fizemos, vemos que:
Então, a constante de força
é igual à segunda derivada da energia potencial em relação a
, avaliada no ponto de equilíbrio
.
Passo 5
Para encontrar
, precisamos calcular a segunda derivada da energia potencial
em
. Isso geralmente envolve conhecer a forma explícita de
. No caso de uma ligação iônica como a do
, a energia potencial pode ser aproximada por uma Lei de Coulomb para interação entre cargas:
Onde:
-
é a constante eletrostática, -
e são as cargas efetivas dos íons e , -
é a carga elemental.
Calculando a segunda derivada:
Avaliando em
:
Resposta
A constante de força para pequenas oscilações em
é: