Um elétron em um nanotubo de carbono de comprimento
é descrito pela função de onda
. Calcule o valor esperado da energia cinética do elétron.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um elétron dentro de um nanotubo de carbono que tem um comprimento
. A função de onda que descreve o elétron é dada por:
O que queremos calcular aqui é o valor esperado da energia cinética desse elétron. Para isso, vamos precisar entender como a energia cinética é representada na mecânica quântica e como aplicá-la à função de onda que a gente tem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na mecânica quântica, a energia cinética (
) está relacionada ao operador derivada segunda em relação à posição. A expressão para o operador de energia cinética é:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida e
é a massa do elétron.
Passo 3
O valor esperado da energia cinética é calculado usando a seguinte integral:
Como a função de onda
é real,
. Então, podemos simplificar para:
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada de
. Dada:
A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 5
Substituindo a segunda derivada na expressão do valor esperado:
Simplificando os sinais:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral
. Substituindo
:
Sabemos que:
Então:
Passo 7
Substituindo o resultado da integral de volta na expressão do valor esperado:
Resposta
O valor esperado da energia cinética do elétron é: