Um elétron em um nanotubo de carbono de comprimento L é descrito pela função de onda psi(x)=(2 / L)^1 / 2 sen(pi x / L). Calcule o valor esperado da energia cinética do elétron.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um elétron dentro de um nanotubo de carbono que tem um comprimento psi(x) = raiz2L , sin(pi xL) . A função de onda que descreve o elétron é dada por:
O que queremos calcular aqui é o valor esperado da energia cinética desse elétron. Para isso, vamos precisar entender como a energia cinética é representada na mecânica quântica e como aplicá-la à função de onda que a gente tem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na mecânica quântica, a energia cinética ( T = -hbar^22m d^2dx^2 ) está relacionada ao operador derivada segunda em relação à posição. A expressão para o operador de energia cinética é:
Aqui, é a constante de Planck reduzida e é a massa do elétron.

Passo 3

O valor esperado da energia cinética é calculado usando a seguinte integral:
lang<= T rang<= = integral0^L psi^*(x) , T , psi(x) , dx
Como a função de onda lang<= T rang<= = -hbar^22m integral0^L psi(x) d^2dx^2 psi(x) , dx é real, . Então, podemos simplificar para:

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada de psi(x) = raiz2L , sin(pi xL) . Dada:
dpsidx = raiz2L cdot piL cos(pi xL)
A primeira derivada é:
d^2psidx^2 = -raiz2L cdot (piL)^2 sin(pi xL) = -(piL)^2 psi(x)
E a segunda derivada é:

Passo 5

Substituindo a segunda derivada na expressão do valor esperado:
lang<= T rang<= = -hbar^22m integral0^L psi(x) (-(piL)^2 psi(x)) dx
Simplificando os sinais:
lang<= T rang<= = hbar^2 pi^22m L^2 integral0^L psi^2(x) , dx

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral integral0^L (raiz2L , sin(pi xL))^2 dx = 2L integral0^L sin^2(pi xL) dx . Substituindo integral0^L sin^2(pi xL) dx = L2 :
2L cdot L2 = 1
Sabemos que:
Então:

Passo 7

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão do valor esperado:
lang<= T rang<= = hbar^2 pi^22m L^2 cdot 1 = hbar^2 pi^22m L^2

Resposta

O valor esperado da energia cinética do elétron é:
lang<= T rang<= = hbar^2 pi^22m L^2

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