Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo para (a) um elétron se movendo em uma dimensão em torno de um núcleo estacionário e sujeito a um potencial coulombiano, (b) uma partícula livre, © uma partícula sujeita a uma força constante e uniforme.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para três situações diferentes:
a) Um elétron se movendo em uma dimensão ao redor de um núcleo estacionário, sujeito a um potencial coulombiano.
b) Uma partícula livre.
c) Uma partícula sujeita a uma força constante e uniforme.
Para resolver isso, vamos precisar saber qual é a forma geral da equação de Schrödinger independente do tempo e como identificar o potencial energético
em cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger independente do tempo. Ela descreve como a função de onda
de uma partícula se comporta sob a influência de um potencial
:
Aqui:
-
é a constante de Planck reduzida, -
é a massa da partícula, -
é a energia total da partícula.
Nossa missão é identificar
para cada uma das situações e escrever a equação correspondente.
Passo 3
Caso a) Elétron em torno de um núcleo com potencial coulombiano:
O potencial coulombiano descreve a interação entre cargas elétricas. Para um elétron em torno de um núcleo estacionário, o potencial é dado por:
Onde:
-
é a carga do elétron, -
é a permitividade do vácuo, -
é a distância do elétron ao núcleo.
Substituindo
na equação de Schrödinger, temos:
Passo 4
Caso b) Partícula livre:
Para uma partícula livre, não há potencial agindo sobre ela, ou seja,
.
Substituindo na equação de Schrödinger:
Essa é a equação para uma partícula que não está sujeita a nenhuma força ou potencial externo.
Passo 5
Caso c) Partícula sujeita a uma força constante e uniforme:
Uma força constante
resulta em um potencial linear. O potencial
associado a uma força constante é:
Aqui, escolhemos a direção
de forma que a força
seja constante e uniforme ao longo de
.
Substituindo
na equação de Schrödinger:
Resposta
As equações de Schrödinger independentes do tempo para cada caso são:
a) Elétron com potencial coulombiano:
b) Partícula livre:
c) Partícula sujeita a uma força constante e uniforme: