Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo para (a) um elétron se movendo em uma dimensão em torno de um núcleo estacionário e sujeito a um potencial coulombiano, (b) uma partícula livre, © uma partícula sujeita a uma força constante e uniforme.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para três situações diferentes:
a) Um elétron se movendo em uma dimensão ao redor de um núcleo estacionário, sujeito a um potencial coulombiano.
b) Uma partícula livre.
c) Uma partícula sujeita a uma força constante e uniforme.
Para resolver isso, vamos precisar saber qual é a forma geral da equação de Schrödinger independente do tempo e como identificar o potencial energético em cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Schrödinger independente do tempo. Ela descreve como a função de onda - hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 + V(x) psi(x) = E psi(x) de uma partícula se comporta sob a influência de um potencial :
Aqui:
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é a massa da partícula,
  • é a energia total da partícula.
Nossa missão é identificar para cada uma das situações e escrever a equação correspondente.

Passo 3

Caso a) Elétron em torno de um núcleo com potencial coulombiano:
O potencial coulombiano descreve a interação entre cargas elétricas. Para um elétron em torno de um núcleo estacionário, o potencial é dado por:
V(x) = -e^24pi varepsilon0 |x|
Onde:
  • - hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 - e^24pi varepsilon0 |x| psi(x) = E psi(x) é a carga do elétron,
  • é a permitividade do vácuo,
  • é a distância do elétron ao núcleo.
Substituindo na equação de Schrödinger, temos:

Passo 4

Caso b) Partícula livre:
Para uma partícula livre, não há potencial agindo sobre ela, ou seja, - hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x) .
Substituindo na equação de Schrödinger:
Essa é a equação para uma partícula que não está sujeita a nenhuma força ou potencial externo.

Passo 5

Caso c) Partícula sujeita a uma força constante e uniforme:
Uma força constante V(x) = -F x resulta em um potencial linear. O potencial - hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 - F x psi(x) = E psi(x) associado a uma força constante é:
Aqui, escolhemos a direção de forma que a força seja constante e uniforme ao longo de .
Substituindo na equação de Schrödinger:

Resposta

As equações de Schrödinger independentes do tempo para cada caso são:
a) Elétron com potencial coulombiano:
- hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 - e^24pi varepsilon0 |x| psi(x) = E psi(x)
b) Partícula livre:
- hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x)
c) Partícula sujeita a uma força constante e uniforme:
- hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 - F x psi(x) = E psi(x)

Exercícios relacionados