Um elétron está preso em uma grande caixa retangular. Estime a ordem de grandeza da espessura da camada ocupada pelo elétron em relação ao fundo da caixa devido aos efeitos de um campo gravitacional uniforme
. Massa do elétron:
, constante reduzida de Planck:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um elétron preso em uma grande caixa retangular e queremos estimar a ordem de grandeza da espessura da camada que o elétron ocupa em relação ao fundo da caixa devido a um campo gravitacional uniforme
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica e interação com campos externos. Precisamos considerar a massa do elétron
e a constante reduzida de Planck
.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no elétron na caixa sem a gravidade. Na mecânica quântica, um elétron confinado em uma dimensão espacial (como a altura da caixa) tem sua função de onda distribuída nessa dimensão. A extensão dessa função de onda está relacionada ao equilíbrio entre a energia cinética quântica e a energia potencial.
Passo 3
Quando adicionamos o campo gravitacional, o elétron também sente uma energia potencial gravitacional
, onde
é a altura. A energia cinética quântica pode ser estimada pela relação
, onde
é a espessura da camada que queremos encontrar.
Passo 4
Para encontrar a espessura
, igualamos a energia cinética à energia potencial gravitacional:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a ordem de grandeza de
. Sabemos que:
-
- Massa do elétron
-
Substituindo esses valores:
Fazendo as contas (simplificando as potências de 10):
Resposta
A ordem de grandeza da espessura da camada ocupada pelo elétron em relação ao fundo da caixa devido ao campo gravitacional é aproximadamente
metros, ou seja, cerca de um milímetro.
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