Um elétron está preso em uma grande caixa retangular. Estime a ordem de grandeza da espessura da camada ocupada pelo elétron em relação ao fundo da caixa devido aos efeitos de um campo gravitacional uniforme g. Massa do elétron: m, constante reduzida de Planck: hbar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um elétron preso em uma grande caixa retangular e queremos estimar a ordem de grandeza da espessura da camada que o elétron ocupa em relação ao fundo da caixa devido a um campo gravitacional uniforme . Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica e interação com campos externos. Precisamos considerar a massa do elétron e a constante reduzida de Planck .

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no elétron na caixa sem a gravidade. Na mecânica quântica, um elétron confinado em uma dimensão espacial (como a altura da caixa) tem sua função de onda distribuída nessa dimensão. A extensão dessa função de onda está relacionada ao equilíbrio entre a energia cinética quântica e a energia potencial.

Passo 3

Quando adicionamos o campo gravitacional, o elétron também sente uma energia potencial gravitacional , onde é a altura. A energia cinética quântica pode ser estimada pela relação , onde é a espessura da camada que queremos encontrar.

Passo 4

Para encontrar a espessura hbar^22 m h^2 sim m g h , igualamos a energia cinética à energia potencial gravitacional:
hbar^2 sim 2 m^2 g h^3 h^3 sim hbar^22 m^2 g h sim ( hbar^22 m^2 g )^1/3
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos calcular a ordem de grandeza de h sim ( (1.054 times 10^-34)^22 times (9.109 times 10^-31)^2 times 9.81 )^1/3 . Sabemos que:
  • h sim ( 10^-682 times 10^-61 times 10 )^1/3 = ( 10^-682 times 10^-60 )^1/3 = (5 times 10^-9)^1/3 approx 1.7 times 10^-3 , m
  • Massa do elétron
Substituindo esses valores:
Fazendo as contas (simplificando as potências de 10):

Resposta

A ordem de grandeza da espessura da camada ocupada pelo elétron em relação ao fundo da caixa devido ao campo gravitacional é aproximadamente metros, ou seja, cerca de um milímetro.

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