Um feixe de elétrons de massa
e carga
acelerados através de uma diferença de potencial
incide perpendicularmente em uma rede de difração de espaçamento
. Em um anteparo fluorescente a uma distância
, são observadas franjas claras e franjas escuras. Determine a distância entre duas franjas claras consecutivas no anteparo. Constante de Planck:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um feixe de elétrons com massa
e carga
que são acelerados por uma diferença de potencial
. Esses elétrons atingem uma rede de difração com espaçamento
e, depois, aparecem franjas claras e escuras em um anteparo a uma distância
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a distância entre duas franjas claras consecutivas nesse anteparo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física de partículas, especialmente a relação de de Broglie que liga a massa e velocidade das partículas ao seu comprimento de onda, além de princípios de interferência em redes de difração.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade dos elétrons quando eles são acelerados pela diferença de potencial
. Quando um elétron é acelerado por uma tensão
, ele ganha energia cinética igual a
. A energia cinética (
) de uma partícula é dada por:
Igualando as duas expressões:
Resolvendo para
:
Então, a velocidade dos elétrons é
.
Passo 3
Agora que temos a velocidade dos elétrons, podemos determinar o comprimento de onda associado a eles usando a relação de de Broglie. Essa relação nos diz que qualquer partícula tem uma natureza ondulatória, e o comprimento de onda (
) é dado por:
Onde
é a constante de Planck e
é o momento linear da partícula. O momento
é:
Substituindo na relação de de Broglie:
Então, o comprimento de onda dos elétrons é
.
Passo 4
Com o comprimento de onda determinado, vamos aplicar a condição para a formação das franjas claras na rede de difração. As franjas claras ocorrem onde ocorre interferência construtiva, que acontece quando:
Aqui,
é o espaçamento entre as fendas da rede (
no nosso caso),
é o ângulo de difração,
é a ordem da franja (1, 2, 3,…), e
é o comprimento de onda que já calculamos.
Passo 5
Para encontrar a distância entre as franjas no anteparo, podemos usar a aproximação de pequeno ângulo, onde
. A posição
da franja no anteparo é relacionada ao ângulo
e à distância
pela relação:
Substituindo a condição de interferência:
A distância entre duas franjas claras consecutivas (
) é a diferença entre
e
:
Resposta
A distância entre duas franjas claras consecutivas no anteparo é dada por: