Um feixe de elétrons de massa m e carga e acelerados através de uma diferença de potencial V incide perpendicularmente em uma rede de difração de espaçamento a. Em um anteparo fluorescente a uma distância D, são observadas franjas claras e franjas escuras. Determine a distância entre duas franjas claras consecutivas no anteparo. Constante de Planck: h.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um feixe de elétrons com massa m e carga e que são acelerados por uma diferença de potencial V. Esses elétrons atingem uma rede de difração com espaçamento a e, depois, aparecem franjas claras e escuras em um anteparo a uma distância D. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a distância entre duas franjas claras consecutivas nesse anteparo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física de partículas, especialmente a relação de de Broglie que liga a massa e velocidade das partículas ao seu comprimento de onda, além de princípios de interferência em redes de difração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade dos elétrons quando eles são acelerados pela diferença de potencial V. Quando um elétron é acelerado por uma tensão V, ele ganha energia cinética igual a eV. A energia cinética ( Ec) de uma partícula é dada por:
Ec = 12 m v^2
Igualando as duas expressões:
12 m v^2 = e V
Resolvendo para v:
v = raiz2 e Vm
Então, a velocidade dos elétrons é raiz2 e Vm.

Passo 3

Agora que temos a velocidade dos elétrons, podemos determinar o comprimento de onda associado a eles usando a relação de de Broglie. Essa relação nos diz que qualquer partícula tem uma natureza ondulatória, e o comprimento de onda ( lambda) é dado por:
lambda = hp
Onde h é a constante de Planck e p é o momento linear da partícula. O momento p é:
p = m v = m raiz2 e Vm = raiz2 m e V
Substituindo na relação de de Broglie:
lambda = hraiz2 m e V
Então, o comprimento de onda dos elétrons é hraiz2 m e V.

Passo 4

Com o comprimento de onda determinado, vamos aplicar a condição para a formação das franjas claras na rede de difração. As franjas claras ocorrem onde ocorre interferência construtiva, que acontece quando:
d sin theta = n lambda
Aqui, d é o espaçamento entre as fendas da rede ( a no nosso caso), theta é o ângulo de difração, n é a ordem da franja (1, 2, 3,…), e lambda é o comprimento de onda que já calculamos.

Passo 5

Para encontrar a distância entre as franjas no anteparo, podemos usar a aproximação de pequeno ângulo, onde sin theta approx tan theta approx theta. A posição y da franja no anteparo é relacionada ao ângulo theta e à distância D pela relação:
y approx D tan theta approx D sin theta
Substituindo a condição de interferência:
yn approx D n lambdaa
A distância entre duas franjas claras consecutivas ( De) é a diferença entre yn+1 e yn:
De

Resposta

A distância entre duas franjas claras consecutivas no anteparo é dada por:
De

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