Um elétron tem uma velocidade inicial de 12(km / s) j+15(km / s) k e uma aceleração de 2 times 10^12(km / s^2) i numa região em que estão presentes um campo elétrico e um campo magnético uniformes. Sabendo-se que B=400(mu T) i, determine o campo elétrico .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um elétron que está se movendo com uma certa velocidade e acelerando em uma região onde existem campos elétrico e magnético uniformes. O objetivo aqui é descobrir qual é o campo elétrico nessa região. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força sobre partículas carregadas em campos eletromagnéticos, especialmente a Lei de Lorentz. Vamos dividir isso em etapas para entender melhor como chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força total que atua sobre uma partícula carregada, como o elétron, em presença de campos elétrico ( F = q (E + v times B) ) e magnético ( ) é dada pela Lei de Lorentz:
Aqui:
  • é a força total,
  • é a carga da partícula,
  • é a velocidade da partícula,
  • é o campo magnético.

Passo 3

Além disso, sabemos que a força também está relacionada à aceleração pela Segunda Lei de Newton:
F = m a
Onde:
  • m a = q (E + v times B) é a massa da partícula,
  • é a aceleração.
Então, podemos igualar as duas expressões para a força:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar essa equação para isolar o campo elétrico E = m aq - v times B :
Isso significa que o campo elétrico é igual à aceleração multiplicada pela massa sobre a carga, menos o produto vetorial da velocidade pelo campo magnético.

Passo 5

Antes de calcular, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI):
  • Velocidade ( ): na direção , e na direção .
  • Aceleração ( ): na direção .
  • Campo magnético ( ): na direção .
Precisamos também conhecer a massa ( ) e a carga ( ) do elétron:
  • Massa do elétron:
  • Carga do elétron:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial v = 12,000, j + 15,000, k, m/s :
B = 4 times 10^-4, i, T
v times B = (12,000, j + 15,000, k) times 4 times 10^-4, i
Usando o produto vetorial:
= 12,000 times 4 times 10^-4, (j times i) + 15,000 times 4 times 10^-4, (k times i)
j times i = -k
Sabemos que:
k times i = j
v times B = 12,000 times 4 times 10^-4 times (-k) + 15,000 times 4 times 10^-4 times j
Então:
= -4.8, k + 6, j, m/s^2

Passo 7

Agora, substituímos tudo na equação para E = m aq - (v times B) :
9,11 times 10^-31, kg times 2 times 10^15, m/s^2-1,60 times 10^-19, C
Calculando = 1.822 times 10^-15, kg cdot m/s^2-1,60 times 10^-19, C :
= -1.13875 times 10^4, V/m, i
E = -1.13875 times 10^4, i - (-4.8, k + 6, j)
= -1.13875 times 10^4, i + 4.8, k - 6, j, V/m
Então:

Passo 8

Vamos ajustar os sinais e a ordem dos termos:
E = -6, j -1.13875 times 10^4, i + 4.8, k, V/m
Para simplificar a notação:
E = -1.13875 times 10^4, i - 6, j + 4.8, k, V/m

Resposta

O campo elétrico é dado por:
E = -1.13875 times 10^4, i, V/m - 6, j, V/m + 4.8, k, V/m

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