Um feixe de partículas carregadas é injetado com velocidade inicial de módulo
em uma região onde existe um campo magnético uniforme
. Vamos supor que essa velocidade inicial esteja no plano xy e que, portanto, essas partículas continuam sempre nesse plano. As partículas vão descrever uma trajetória semicircular até atingirem um anteparo, que registrará a distância
que elas percorreram na direção paralela a esse anteparo. Determine a razão entre os parâmetros
de um feixe de elétrons e de um feixe de prótons. (R: 0,00054)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um feixe de partículas carregadas (elétrons e prótons) que são lançadas com uma certa velocidade inicial
em uma região com um campo magnético uniforme
. A velocidade inicial está no plano xy, então as partículas vão se mover sempre nesse plano, descrevendo uma trajetória semicircular até baterem em um anteparo. Esse anteparo vai medir a distância
que as partículas percorrem paralelamente a ele. A questão quer que a gente descubra a razão entre as distâncias
das partículas que são elétrons e prótons. Para resolver isso, vamos precisar entender como partículas carregadas se movem em campos magnéticos e usar algumas fórmulas básicas de física de partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula carregada se move em um campo magnético, ela sofre uma força perpendicular tanto à sua velocidade quanto ao campo magnético. Essa força é dada pela força de Lorentz:
Onde:
-
é a carga da partícula, -
é a velocidade da partícula, -
é o campo magnético.
Essa força causa a partícula a se mover em uma trajetória curva. A intensidade dessa força também pode ser relacionada com a força centrípeta necessária para manter a partícula na trajetória circular:
Onde:
-
é a massa da partícula, -
é a velocidade, -
é o raio da trajetória circular.
Igualando as duas expressões da força:
Simplificando, encontramos o raio da trajetória:
Passo 3
No exercício, as partículas seguem uma trajetória semicircular. O comprimento da trajetória semicircular é metade da circunferência completa:
Como as partículas partem do ponto inicial e retornam por um caminho semicircular até o anteparo, a distância
que elas percorrem paralelamente ao anteparo é igual ao diâmetro do círculo:
Então, substituindo o valor de
que encontramos:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a razão entre as distâncias
de um feixe de elétrons (
) e de prótons (
). Vamos escrever as expressões para cada uma:
Para elétrons:
Para prótons:
Agora, a razão
é:
Passo 5
Sabemos que a carga do elétron
é igual em magnitude à carga do próton
, mas com sinais opostos. No entanto, como estamos trabalhando com razões de magnitudes, podemos considerar
. Assim, a razão fica:
Agora, precisamos apenas dos valores das massas do elétron e do próton:
- Massa do elétron,
- Massa do próton,
Calculando a razão:
Resposta
A razão entre os parâmetros
de um feixe de elétrons e de um feixe de prótons é aproximadamente
.