Um feixe de partículas carregadas é injetado com velocidade inicial de módulo vo em uma região onde existe um campo magnético uniforme B=B k. Vamos supor que essa velocidade inicial esteja no plano xy e que, portanto, essas partículas continuam sempre nesse plano. As partículas vão descrever uma trajetória semicircular até atingirem um anteparo, que registrará a distância D que elas percorreram na direção paralela a esse anteparo. Determine a razão entre os parâmetros D de um feixe de elétrons e de um feixe de prótons. (R: 0,00054)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um feixe de partículas carregadas (elétrons e prótons) que são lançadas com uma certa velocidade inicial vo em uma região com um campo magnético uniforme B = B k. A velocidade inicial está no plano xy, então as partículas vão se mover sempre nesse plano, descrevendo uma trajetória semicircular até baterem em um anteparo. Esse anteparo vai medir a distância D que as partículas percorrem paralelamente a ele. A questão quer que a gente descubra a razão entre as distâncias D das partículas que são elétrons e prótons. Para resolver isso, vamos precisar entender como partículas carregadas se movem em campos magnéticos e usar algumas fórmulas básicas de física de partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula carregada se move em um campo magnético, ela sofre uma força perpendicular tanto à sua velocidade quanto ao campo magnético. Essa força é dada pela força de Lorentz:
F = q (v times B)
Onde:
  • q é a carga da partícula,
  • v é a velocidade da partícula,
  • B é o campo magnético.
Essa força causa a partícula a se mover em uma trajetória curva. A intensidade dessa força também pode ser relacionada com a força centrípeta necessária para manter a partícula na trajetória circular:
F = m v^2r
Onde:
  • m é a massa da partícula,
  • v é a velocidade,
  • r é o raio da trajetória circular.
Igualando as duas expressões da força:
q v B = m v^2r
Simplificando, encontramos o raio da trajetória:
r = m vq B

Passo 3

No exercício, as partículas seguem uma trajetória semicircular. O comprimento da trajetória semicircular é metade da circunferência completa:
Comprimento = pi r
Como as partículas partem do ponto inicial e retornam por um caminho semicircular até o anteparo, a distância D que elas percorrem paralelamente ao anteparo é igual ao diâmetro do círculo:
D = 2r
Então, substituindo o valor de r que encontramos:
D = 2 ( m vq B ) = 2 m vq B

Passo 4

Agora, queremos encontrar a razão entre as distâncias D de um feixe de elétrons ( De) e de prótons ( Dp). Vamos escrever as expressões para cada uma:
Para elétrons:
De = 2 me voqe B
Para prótons:
Dp = 2 mp voqp B
Agora, a razão R é:
R = DeDp = 2 me voqe B2 mp voqp B = me qpmp qe

Passo 5

Sabemos que a carga do elétron qe é igual em magnitude à carga do próton qp, mas com sinais opostos. No entanto, como estamos trabalhando com razões de magnitudes, podemos considerar qe = qp. Assim, a razão fica:
R = memp
Agora, precisamos apenas dos valores das massas do elétron e do próton:
  • Massa do elétron, me approx 9,11 times 10^-31 , kg
  • Massa do próton, mp approx 1,67 times 10^-27 , kg
Calculando a razão:
R = 9,11 times 10^-311,67 times 10^-27 approx 5,46 times 10^-4

Resposta

A razão entre os parâmetros D de um feixe de elétrons e de um feixe de prótons é aproximadamente 0,00054.

Exercícios relacionados