Na eletrostática, existem três possibilidades no cálculo do campo elétrico: pela lei de Coulomb, pela lei de Gauss e pelo Potencial elétrico. A escolha está relacionada com a facilidade no cálculo. A depender da escolha pode ter uma dificuldade, ou mesmo uma impossibilidade, na sua resolução.
(valor 2,0) (b). Utilize a lei de Coulomb para encontrar o campo elétrico do mesmo problema de um fio finito, de comprimento
, com uma carga
distribuída uniformemente no comprimento, em um ponto de distância
da extremidade do fio.
(valor 2,0) (b). Utilize a lei de Coulomb para encontrar o campo elétrico do mesmo problema de um fio finito, de comprimento
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre eletrostática e pede para encontrarmos o campo elétrico usando a Lei de Coulomb. A situação é a seguinte: temos um fio finito com comprimento $ l $, carregado com uma carga total $ +q $ distribuída de forma uniforme ao longo do fio. Queremos descobrir qual é o campo elétrico em um ponto que está a uma distância $ y $ da extremidade desse fio. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de densidade linear de carga e integrar a contribuição de cada pedacinho do fio para o campo total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída no fio. Como a carga $ +q $ está espalhada uniformemente ao longo de um comprimento $ l $, a densidade linear de carga $ \lambda $ é dada por:
Isso significa que cada pedacinho de comprimento $ dx $ do fio tem uma carga infinitesimal $ dq = \lambda , dx $.
Passo 3
Agora, imagine que o fio está alinhado ao longo do eixo $ x $, indo de $ x = 0 $ até $ x = l $. O ponto onde queremos calcular o campo elétrico está a uma distância $ y $ da extremidade do fio, no ponto $ P $. Vamos considerar as coordenadas de $ P $ como $ ( -y, 0, 0 ) $ para facilitar os cálculos.
Passo 4
Para um pequeno segmento de carga $ dq $ localizado em uma posição $ x $ ao longo do fio, a distância do segmento ao ponto $ P $ é:
De acordo com a Lei de Coulomb, o campo elétrico devido a essa carga $ dq $ é:
Onde:
- $ k_e $ é a constante de Coulomb ($ 8,99 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $)
- $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $
Passo 5
Vamos decompor o campo elétrico $ d\mathbf{E} $ em suas componentes $ x $ e $ y $. Devido à simetria, as componentes verticais (paralelas a $ y $) vão se somar, enquanto as horizontais (paralelas a $ x $) vão se cancelar. Portanto, focaremos na componente vertical $ dE_y $:
Substituindo $ dq = \lambda , dx $:
Passo 6
Agora, para encontrar o campo elétrico total $ E $ no ponto $ P $, integramos $ dE_y $ ao longo de todo o comprimento do fio, de $ x = 0 $ a $ x = l $:
Passo 7
Vamos resolver essa integral. Podemos fazer uma substituição trigonométrica ou reconhecer a forma da integral padrão. A integral resulta em:
Substituindo os limites:
Passo 8
Lembrando que $ \lambda = \frac{q}{l} $, substituímos na expressão:
Resposta
O campo elétrico no ponto a uma distância $ y $ da extremidade do fio finito é: