Na eletrostática, existem três possibilidades no cálculo do campo elétrico: pela lei de Coulomb, pela lei de Gauss e pelo Potencial elétrico. A escolha está relacionada com a facilidade no cálculo. A depender da escolha pode ter uma dificuldade, ou mesmo uma impossibilidade, na sua resolução.
(valor 2,0) (b). Utilize a lei de Coulomb para encontrar o campo elétrico do mesmo problema de um fio finito, de comprimento l, com uma carga +q distribuída uniformemente no comprimento, em um ponto de distância y da extremidade do fio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre eletrostática e pede para encontrarmos o campo elétrico usando a Lei de Coulomb. A situação é a seguinte: temos um fio finito com comprimento $ l $, carregado com uma carga total $ +q $ distribuída de forma uniforme ao longo do fio. Queremos descobrir qual é o campo elétrico em um ponto que está a uma distância $ y $ da extremidade desse fio. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de densidade linear de carga e integrar a contribuição de cada pedacinho do fio para o campo total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída no fio. Como a carga $ +q $ está espalhada uniformemente ao longo de um comprimento $ l $, a densidade linear de carga $ \lambda $ é dada por:
+q
Isso significa que cada pedacinho de comprimento $ dx $ do fio tem uma carga infinitesimal $ dq = \lambda , dx $.

Passo 3

Agora, imagine que o fio está alinhado ao longo do eixo $ x $, indo de $ x = 0 $ até $ x = l $. O ponto onde queremos calcular o campo elétrico está a uma distância $ y $ da extremidade do fio, no ponto $ P $. Vamos considerar as coordenadas de $ P $ como $ ( -y, 0, 0 ) $ para facilitar os cálculos.

Passo 4

Para um pequeno segmento de carga $ dq $ localizado em uma posição $ x $ ao longo do fio, a distância do segmento ao ponto $ P $ é:
dq
De acordo com a Lei de Coulomb, o campo elétrico devido a essa carga $ dq $ é:
x
Onde:
  • $ k_e $ é a constante de Coulomb ($ 8,99 \times 10^9 , N·m2/\text{C}2 $)
  • $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ r $

Passo 5

Vamos decompor o campo elétrico $ d\mathbf{E} $ em suas componentes $ x $ e $ y $. Devido à simetria, as componentes verticais (paralelas a $ y $) vão se somar, enquanto as horizontais (paralelas a $ x $) vão se cancelar. Portanto, focaremos na componente vertical $ dE_y $:
dE
Substituindo $ dq = \lambda , dx $:
x

Passo 6

Agora, para encontrar o campo elétrico total $ E $ no ponto $ P $, integramos $ dE_y $ ao longo de todo o comprimento do fio, de $ x = 0 $ a $ x = l $:
E

Passo 7

Vamos resolver essa integral. Podemos fazer uma substituição trigonométrica ou reconhecer a forma da integral padrão. A integral resulta em:
E = ke , lambday^2 ( xraizx^2 + y^2 ) g|0^l
Substituindo os limites:
E = ke , lambday^2 ( lraizl^2 + y^2 - 0 ) = ke , lambda , ly^2 raizl^2 + y^2

Passo 8

Lembrando que $ \lambda = \frac{q}{l} $, substituímos na expressão:
lambda = ql

Resposta

O campo elétrico no ponto a uma distância $ y $ da extremidade do fio finito é:
y

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