Na eletrostática, existem três possibilidades no cálculo do campo elétrico: pela lei de Coulomb, pela lei de Gauss e pelo Potencial elétrico. A escolha está relacionada com a facilidade no cálculo. A depender da escolha pode ter uma dificuldade, ou mesmo uma impossibilidade, na sua resolução.
(valor 2,0). A terceira maneira de determinar o campo elétrico, é através do Potencial. (b). Determine o Potencial (através da equação em função das cargas, supondo que o potencial
) para o mesmo problema de um fio finito de comprimento
, com carga
distribuída uniformemente no comprimento, no ponto de distância
da extremidade do fio.
(valor 2,0). A terceira maneira de determinar o campo elétrico, é através do Potencial. (b). Determine o Potencial (através da equação em função das cargas, supondo que o potencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre eletrostática e pede para a gente calcular o potencial elétrico criado por um fio finito carregado uniformemente. O fio tem comprimento $ l $ e carga total $ +q $. Queremos achar o potencial elétrico no ponto que está a uma distância $ y $ da extremidade do fio. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição de carga e integração para somar os potenciais de cada parte do fio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída no fio. Como a carga $ +q $ está distribuída uniformemente ao longo do comprimento $ l $ do fio, podemos definir a densidade linear de carga $ \lambda $ como:
Isso significa que cada pedacinho do fio tem uma carga proporcional ao seu tamanho.
Passo 3
Agora, vamos pensar em como calcular o potencial elétrico no ponto a distância $ y $ da extremidade. Vamos imaginar que dividimos o fio em pequenos pedaços de comprimento $ dx $, cada um com uma carga $ dq = \lambda dx $.
Para cada pedacinho $ dx $, a distância até o ponto onde queremos calcular o potencial é $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $, usando o teorema de Pitágoras.
Sabemos que o potencial elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
onde $ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $ é a constante eletrostática.
Passo 4
Substituindo $ dq $ e $ r $ na expressão, temos:
Para encontrar o potencial total $ V $, precisamos integrar $ dV $ ao longo de todo o comprimento do fio, ou seja, de $ x = 0 $ até $ x = l $:
Essa integral resulta em:
Calculando os limites, ficamos com:
Simplificando:
Resposta
O potencial elétrico no ponto a distância $ y $ da extremidade do fio é dado por: