O elevador hidráulico de uma oficina mecânica está cheio de óleo. Um carro se encontra sobre um pistão com 25 cm de diâmetro. Para levantar o carro, utiliza-se ar comprimido para pressionar um pistão de
de diâmetro.
b. Em quanto deve ser aumentada a força de pressão do ar para levantar o carro em
?
b. Em quanto deve ser aumentada a força de pressão do ar para levantar o carro em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um elevador hidráulico cheio de óleo em uma oficina mecânica. Tem um carro apoiado em um pistão com diâmetro de 25 cm, e para levantar esse carro, usamos ar comprimido para empurrar um pistão menor, com 6,0 cm de diâmetro. O que a gente precisa descobrir é quanto a força de pressão do ar precisa ser aumentada para levantar o carro em 2,0 metros. Vamos precisar usar princípios da hidráulica e entender como a pressão e a área dos pistões se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um sistema hidráulico, a pressão é transmitida igualmente em todas as direções. Isso significa que a pressão aplicada no pistão menor (onde o ar atua) será a mesma no pistão maior (onde o carro está). A fórmula que relaciona força, pressão e área é:
onde
é a pressão,
é a força e
é a área.
Passo 3
Como a pressão é a mesma nos dois pistões, podemos escrever:
Aqui,
é a força exercida pelo ar no pistão menor,
é a área do pistão menor,
é a força exercida pelo pistão maior (peso do carro), e
é a área do pistão maior.
Passo 4
Vamos calcular as áreas dos pistões. A fórmula da área de um círculo é:
Para o pistão menor (
cm):
Para o pistão maior (
cm):
Passo 5
A relação entre as forças então fica:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 6
Sabemos que queremos aumentar a força de pressão para levantar o carro em 2,0 metros. Isso implica que precisamos de uma força maior no pistão menor para conseguir mover o pistão maior uma certa distância. A relação entre as distâncias deslocadas e as áreas dos pistões é inversamente proporcional:
Mas como queremos levantar o carro em 2,0 metros, precisamos calcular o aumento na força necessário.
Passo 7
Resolvendo a proporção de forças:
Substituindo as áreas:
Resposta
A força de pressão do ar deve ser aumentada aproximadamente 17,36 vezes para levantar o carro em 2,0 metros.
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