Elimite o parâmetro para encontrar um equação cartesiana da curva. Esboce a curva indicando com uma seta a direção na qual a curva é tracada quando aumenta.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos eliminar o parâmetro para achar uma equação cartesiana da curva. Estamos trabalhando com funções trigonométricas: e , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas básicas e manipular as equações para retirar o .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o mesmo que . Ou seja:
Sabemos que , então podemos substituir por na expressão de :

Passo 3

Agora, temos uma relação direta entre e sem o parâmetro . A equação é a equação cartesiana da curva que estamos procurando.

Passo 4

Para esboçar a curva, vamos pensar na equação . Essa é uma hipérbole que está no primeiro e terceiro quadrantes, mas como nosso está entre e , e são positivos, então vamos focar apenas no primeiro quadrante.

Passo 5

Quanto à direção, quando aumenta de para , aumenta de para e diminui de para . Então, a seta na curva vai começar no topo perto do eixo e descer em direção ao ponto .

Resposta

A equação cartesiana da curva é . O esboço da curva no primeiro quadrante apresenta uma hipérbole com uma seta indicando a movimentação da curva de em direção a conforme aumenta de para .

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Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
Calcule o centróide de .
Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
A região é girado em torno da reta formando um sólido . Calcule o volume de , usando o teorema de Pappus-Guldin.