Elimite o parâmetro
para encontrar um equação cartesiana da curva. Esboce a curva indicando com uma seta a direção na qual a curva é tracada quando
aumenta.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos eliminar o parâmetro
para achar uma equação cartesiana da curva. Estamos trabalhando com funções trigonométricas: e , onde
. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas básicas e manipular as equações para retirar o
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que é o mesmo que . Ou seja:
Sabemos que , então podemos substituir por
na expressão de
:
Passo 3
Agora, temos uma relação direta entre
e
sem o parâmetro
. A equação
é a equação cartesiana da curva que estamos procurando.
Passo 4
Para esboçar a curva, vamos pensar na equação
. Essa é uma hipérbole que está no primeiro e terceiro quadrantes, mas como nosso
está entre
e
,
e
são positivos, então vamos focar apenas no primeiro quadrante.
Passo 5
Quanto à direção, quando
aumenta de
para
, aumenta de
para
e diminui de
para
. Então, a seta na curva vai começar no topo perto do eixo
e descer em direção ao ponto
.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
. O esboço da curva no primeiro quadrante apresenta uma hipérbole com uma seta indicando a movimentação da curva de
em direção a
conforme
aumenta de
para
.
Exercícios relacionados
Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
Calcule o centróide de .
Calcule o centróide de
Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
A região é girado em torno da reta
formando um sólido
. Calcule o volume de
, usando o teorema de Pappus-Guldin.
A região