Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
Calcule o centróide de .
Passo 1
Beleza, vamos encontrar o centróide da região que está limitada pelas curvas e . O centróide é como o “centro de massa” dessa área. Para resolver isso, vamos precisar calcular a área da região e usar integrais para achar as coordenadas e do centróide.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se interceptam para saber quais são os limites da nossa região. Igualando as equações:
Somando em ambos os lados:
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da região . A área entre duas curvas é dada por:
Aqui, e , com e . Então:
Calculando a integral:
Passo 4
Vamos achar as coordenadas do centróide. Começamos com . Devido à simetria da região em relação ao eixo y, sabemos que .
Para , usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Já calculamos essa integral no passo 3, que é . Então: