integral0^2 raiz16-4 x^2 d x

Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício de cálculo integral aqui: . O conteúdo envolvido é a integração de funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar um processo de substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais que têm expressões quadráticas dentro de raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observa que raiz16 - 4x^2 = raiz4(4 - x^2) = 2raiz4 - x^2 pode ser fatorado:
integral0^2 2raiz4 - x^2 , dx = 2 integral0^2 raiz4 - x^2 , dx
Então, nosso integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar uma substituição trigonométrica para resolver x = 2sintheta Rightarrow dx = 2costheta , dtheta . Vamos fazer a seguinte troca:
raiz4 - x^2 = raiz4 - 4sin^2theta = raiz4(1 - sin^2theta) = 2costheta
Substituindo na integral:
2 integral raiz4 - x^2 , dx = 2 integral 2costheta cdot 2costheta , dtheta = 8 integral cos^2theta , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 4

Para integrar cos^2theta = 1 + cos(2theta)2 , usamos a identidade trigonométrica:
8 integral cos^2theta , dtheta = 8 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 4 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta
Substituindo na integral:
4 ( theta + sin(2theta)2 ) + C = 4theta + 2sin(2theta) + C
Integrando termo a termo:

Passo 5

Agora, precisamos voltar à variável original theta = arcsin(x2) . Lembrando que sin(2theta) = 2sinthetacostheta = 2 cdot x2 cdot raiz1 - (x2)^2 = xraiz1 - x^24 = xraiz4 - x^24 = xraiz4 - x^22 , então:
4theta + 2sin(2theta) = 4arcsin(x2) + xraiz4 - x^2 + C
E:
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos avaliar o integral definido de 0 a 2:
2 integral0^2 raiz4 - x^2 , dx = 2 [ 4arcsin(x2) + xraiz4 - x^2 ]0^2
Avaliar nos limites:
Para arcsin(1) = pi2 e 2raiz4 - 4 = 0 :
arcsin(0) = 0 e 0raiz4 - 0 = 0
Para 2 [ 4 cdot pi2 + 0 - (0 + 0) ] = 2 cdot 2pi = 4pi :
Então:

Resposta

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