Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício de cálculo integral aqui: . O conteúdo envolvido é a integração de funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar um processo de substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais que têm expressões quadráticas dentro de raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observa que pode ser fatorado:
Então, nosso integral fica:

Passo 3

Agora, vamos usar uma substituição trigonométrica para resolver . Vamos fazer a seguinte troca:
Substituindo na integral:
Então, a integral fica:

Passo 4

Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:

Passo 5

Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que , então:
E:
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos avaliar o integral definido de 0 a 2:
Avaliar nos limites:
Para :
Para :
Então:

Resposta

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©
Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
Calcule o centróide de .
Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
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