Passo 1
Beleza, a gente tem um exercício de cálculo integral aqui:
. O conteúdo envolvido é a integração de funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar um processo de substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais que têm expressões quadráticas dentro de raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observa que
pode ser fatorado:
Então, nosso integral fica:
Passo 3
Agora, vamos usar uma substituição trigonométrica para resolver
. Vamos fazer a seguinte troca:
Substituindo na integral:
Então, a integral fica:
Passo 4
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que
, então:
E:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o integral definido de 0 a 2:
Avaliar nos limites:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
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Elimite o parâmetro
para encontrar um equação cartesiana da curva. Esboce a curva indicando com uma seta a direção na qual a curva é tracada quando
aumenta.
©
©
Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
Calcule o centróide de .
Calcule o centróide de
Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
A região é girado em torno da reta
formando um sólido
. Calcule o volume de
, usando o teorema de Pappus-Guldin.
A região