Escreva a equação da elipse, dados:
(a) Os focos (-5,0) e (5,0) e dois dos seus vértices, (-15,0) e (15,0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a elipse! A gente precisa encontrar a equação da elipse que tem os focos em (-5,0) e (5,0), e os vértices em (-15,0) e (15,0). Para isso, vamos usar os conceitos básicos de elipse, como centro, eixo maior, eixo menor, e as distâncias dos focos e vértices.

Passo 2

Primeiro, identificamos o centro da elipse. Como os focos e vértices estão no eixo x e são simétricos em relação à origem, o centro está na origem (0,0).

Passo 3

Agora, vamos identificar o comprimento do eixo maior. Os vértices são os pontos mais afastados do centro na elipse. A distância do centro a cada vértice é a. Aqui, os vértices estão em (-15,0) e (15,0), então:
a = 15

Passo 4

Em seguida, encontramos a distância dos focos ao centro, que é chamada de c. Os focos estão em (-5,0) e (5,0), então:
c = 5

Passo 5

Agora, usamos a relação entre a, b (semi-eixo menor) e c na elipse:
c^2 = a^2 - b^2
Vamos substituir os valores que já temos:
5^2 = 15^2 - b^2 25 = 225 - b^2 b^2 = 225 - 25 b^2 = 200 b = raiz200 = 10raiz2

Passo 6

Com todos os valores encontrados ( h = 0, k = 0, a = 15, b = 10raiz2), podemos escrever a equação padrão da elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo os valores:
x^215^2 + y^2(10raiz2)^2 = 1 x^2225 + y^2200 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
x^2225 + y^2200 = 1

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