Escreva a equação da elipse, dados:
(a) Os focos
e
e dois dos seus vértices,
e
;
(a) Os focos
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a elipse! A gente precisa encontrar a equação da elipse que tem os focos em
e
, e os vértices em
e
. Para isso, vamos usar os conceitos básicos de elipse, como centro, eixo maior, eixo menor, e as distâncias dos focos e vértices.
Passo 2
Primeiro, identificamos o centro da elipse. Como os focos e vértices estão no eixo
e são simétricos em relação à origem, o centro está na origem
.
Passo 3
Agora, vamos identificar o comprimento do eixo maior. Os vértices são os pontos mais afastados do centro na elipse. A distância do centro a cada vértice é
. Aqui, os vértices estão em
e
, então:
Passo 4
Em seguida, encontramos a distância dos focos ao centro, que é chamada de
. Os focos estão em
e
, então:
Passo 5
Agora, usamos a relação entre
,
(semi-eixo menor) e
na elipse:
Vamos substituir os valores que já temos:
Passo 6
Com todos os valores encontrados (
,
,
,
), podemos escrever a equação padrão da elipse:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da elipse é: