Uma reta r é tangente a uma elipse E num ponto P in E se r interseta E só no ponto P,(r cap E=P).
(b) Determine a equação da reta tangente à elipse E: x^220+y^25=1 que passa pelo ponto P=(103, 253).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma elipse dada pela equação e um ponto . Nosso objetivo é encontrar a equação da reta que é tangente a essa elipse e passa por esse ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação geral da reta e a condição de tangência entre uma reta e uma parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a equação geral de uma reta no plano: , onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa reta ser tangente à elipse e passar pelo ponto .

Passo 3

Agora, vamos substituir a equação da reta na equação da elipse para encontrar onde elas se interceptam. Substituindo x^220 + (mx + c)^25 = 1 na elipse :
Expandindo e simplificando essa equação, teremos uma equação quadrática em . Para que a reta seja tangente à elipse, essa equação quadrática deve ter apenas uma solução real, ou seja, o discriminante ( ) deve ser igual a zero.

Passo 4

Calculamos o discriminante da equação quadrática resultante. Após simplificar, chegamos a uma relação que envolve 253 = m cdot 103 + c implies c = 253 - 103m e . Como a reta passa pelo ponto , podemos substituir esses valores na equação da reta para encontrar uma relação entre e .
Substituímos na condição do discriminante igual a zero e resolvemos para .

Passo 5

Após encontrar os valores de , substituímos de volta na relação para encontrar os correspondentes valores de . Isso nos dará as equações das retas tangentes desejadas.

Resposta

As equações das retas tangentes à elipse que passam pelo ponto y = 52x + 56 são:
y = -52x + 256
e

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