Uma reta
é tangente a uma elipse
num ponto
se
interseta
só no ponto
.
(b) Determine a equação da reta tangente à elipse
que passa pelo ponto
.
(b) Determine a equação da reta tangente à elipse
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma elipse dada pela equação
e um ponto
. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta que é tangente a essa elipse e passa por esse ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como a equação geral da reta e a condição de tangência entre uma reta e uma parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a equação geral de uma reta no plano:
, onde
é o coeficiente angular e
é o coeficiente linear. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem essa reta ser tangente à elipse e passar pelo ponto
.
Passo 3
Agora, vamos substituir a equação da reta na equação da elipse para encontrar onde elas se interceptam. Substituindo
na elipse
:
Expandindo e simplificando essa equação, teremos uma equação quadrática em
. Para que a reta seja tangente à elipse, essa equação quadrática deve ter apenas uma solução real, ou seja, o discriminante (
) deve ser igual a zero.
Passo 4
Calculamos o discriminante da equação quadrática resultante. Após simplificar, chegamos a uma relação que envolve
e
. Como a reta passa pelo ponto
, podemos substituir esses valores na equação da reta para encontrar uma relação entre
e
.
Substituímos
na condição do discriminante igual a zero e resolvemos para
.
Passo 5
Após encontrar os valores de
, substituímos de volta na relação
para encontrar os correspondentes valores de
. Isso nos dará as equações das retas tangentes desejadas.
Resposta
As equações das retas tangentes à elipse que passam pelo ponto
são:
e