Determine a equação da elipse com focos e eixo maior dados.
(a) Focos F1=(-3,2) e F2=(-3,6), eixo maior 2 a=8;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação de uma elipse quando já conhecemos os focos e o comprimento do eixo maior. Para isso, vamos usar as propriedades das elipses, como a posição dos focos, o comprimento dos eixos e as fórmulas relacionadas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos focos que foram dadas: e . Observamos que os dois focos têm a mesma coordenada , ou seja, . Isso significa que o eixo maior da elipse está na direção vertical (paralelo ao eixo ).

Passo 3

O comprimento do eixo maior é dado por a = 82 = 4 . Então, para encontrar o valor de , dividimos por 2:
Aqui, representa a distância do centro da elipse até cada extremo do eixo maior.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o centro da elipse. O centro está localizado no ponto médio entre os dois focos. Para calcular isso, fazemos a média das coordenadas dos focos:
xc = -3 + (-3)2 = -3
yc = 2 + 62 = 4
Portanto, o centro da elipse é .

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o valor de Distância entre F1 e F2 = raiz(-3 - (-3))^2 + (6 - 2)^2 = raiz0 + 16 = 4 , que é a distância do centro até cada foco. Sabemos que a distância entre os dois focos é 2c = 4 Rightarrow c = 2 . Vamos calcular essa distância:
â
Então, temos:

Passo 6

Agora, usamos a relação fundamental das elipses que liga c^2 = a^2 - b^2 , 2^2 = 4^2 - b^2 Rightarrow 4 = 16 - b^2 Rightarrow b^2 = 16 - 4 = 12 Rightarrow b = raiz12 e :
Substituindo os valores que já temos:
Aqui, representa a distância do centro até cada extremo do eixo menor.

Passo 7

Finalmente, vamos montar a equação da elipse. Como o eixo maior é vertical, a equação padrão da elipse é:
(x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1
Substituindo os valores que encontramos:
h = -3, k = 4, a = 4, b^2 = 12
A equação fica:
(x + 3)^212 + (y - 4)^216 = 1

Resposta

A equação da elipse é .

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