Determine a equação da elipse com focos e eixo maior dados.
(a) Focos
e
, eixo maior
;
(a) Focos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação de uma elipse quando já conhecemos os focos e o comprimento do eixo maior. Para isso, vamos usar as propriedades das elipses, como a posição dos focos, o comprimento dos eixos e as fórmulas relacionadas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas dos focos que foram dadas:
e
. Observamos que os dois focos têm a mesma coordenada
, ou seja,
. Isso significa que o eixo maior da elipse está na direção vertical (paralelo ao eixo
).
Passo 3
O comprimento do eixo maior é dado por
. Então, para encontrar o valor de
, dividimos por 2:
Aqui,
representa a distância do centro da elipse até cada extremo do eixo maior.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o centro da elipse. O centro está localizado no ponto médio entre os dois focos. Para calcular isso, fazemos a média das coordenadas dos focos:
Portanto, o centro da elipse é
.
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar o valor de
, que é a distância do centro até cada foco. Sabemos que a distância entre os dois focos é
. Vamos calcular essa distância:
Então, temos:
Passo 6
Agora, usamos a relação fundamental das elipses que liga
,
e
:
Substituindo os valores que já temos:
Aqui,
representa a distância do centro até cada extremo do eixo menor.
Passo 7
Finalmente, vamos montar a equação da elipse. Como o eixo maior é vertical, a equação padrão da elipse é:
Substituindo os valores que encontramos:
A equação fica:
Resposta
A equação da elipse é
.