O potencial gravitacional criado por uma distribuição de massa é dado pela seguinte função:
Com base em seus conhecimentos referentes ao cálculo vetorial, determine:
(A) A função campo gravitacional
.
(B) A variação do potencial gravitacional para uma partícula de massa
, que se deslocou do ponto
para o ponto
.
© Qual a variação do campo gravitacional nesse deslocamento?
(D) Supondo
e que esse sistema seja conservativo, qual o trabalho realizado pela força gravitacional?
(A) A função campo gravitacional
(B) A variação do potencial gravitacional para uma partícula de massa
© Qual a variação do campo gravitacional nesse deslocamento?
(D) Supondo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o potencial gravitacional gerado por uma distribuição de massa, dado pela função $ V(x, y, z) = 3x^{5} + 9y^{3} - 7z^{2} $. A matéria que estamos mexendo aqui é cálculo vetorial, especificamente envolvendo campo gravitacional, variação de potencial e trabalho realizado por forças conservativas. Para resolver, vamos precisar usar conceitos como gradiente, cálculo de derivadas parciais e a definição de trabalho em campos conservativos.
Passo 2
(A) Determinar a função campo gravitacional
.
O campo gravitacional
é dado pelo gradiente do potencial gravitacional
, mas com sinal negativo:
O gradiente
é um vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Vamos calcular cada uma:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Agora, montamos o vetor gradiente:
Aplicando o sinal negativo:
Passo 3
(B) Calcular a variação do potencial gravitacional para uma partícula de massa
que se deslocou do ponto
para
.
Primeiro, vamos identificar os pontos de início e fim:
- Ponto inicial: $ (x_i, y_i, z_i) = (1, 3, 5) $
- Ponto final: $ (x_f, y_f, z_f) = (3, -2, 0) $
A variação do potencial $ \Delta V $ é dada por:
Vamos calcular $ V $ em cada ponto:
- No ponto inicial $ (1, 3, 5) $:
- No ponto final $ (3, -2, 0) $:
Agora, a variação do potencial:
Passo 4
© Determinar a variação do campo gravitacional nesse deslocamento.
A variação do campo gravitacional $ \Delta \vec{g} $ é a diferença entre o campo final e o campo inicial:
Vamos calcular $ \vec{g} $ em cada ponto usando a função que encontramos em (A):
- Campo no ponto inicial $ (1, 3, 5) $:
- Campo no ponto final $ (3, -2, 0) $:
Agora, a variação:
Passo 5
(D) Calcular o trabalho realizado pela força gravitacional, dado que
e que o sistema é conservativo.
Em um campo conservativo, o trabalho $ W $ realizado pela força gravitacional ao mover uma partícula de um ponto a outro é dado por:
Onde $ \Delta V $ é a variação do potencial que calculamos na parte (B):
Resposta
(A)
(B) A variação do potencial gravitacional é $ \Delta V = 586 $
© A variação do campo gravitacional é $ \Delta \vec{g} = (-1200,; 135,; -70) $
(D) O trabalho realizado pela força gravitacional é $ W = -2930 , J $