O potencial gravitacional criado por uma distribuição de massa é dado pela seguinte função:
V(x, y, z)=3 x^5+9 y^3-7 z^2
Com base em seus conhecimentos referentes ao cálculo vetorial, determine:
(A) A função campo gravitacional g(x, y, z).
(B) A variação do potencial gravitacional para uma partícula de massa m, que se deslocou do ponto (1,0 ; 3,0 ; 5,0) para o ponto (3,0 ;-2,0 ; 0,0).
© Qual a variação do campo gravitacional nesse deslocamento?
(D) Supondo m=5,0 kg e que esse sistema seja conservativo, qual o trabalho realizado pela força gravitacional?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o potencial gravitacional gerado por uma distribuição de massa, dado pela função $ V(x, y, z) = 3x^{5} + 9y^{3} - 7z^{2} $. A matéria que estamos mexendo aqui é cálculo vetorial, especificamente envolvendo campo gravitacional, variação de potencial e trabalho realizado por forças conservativas. Para resolver, vamos precisar usar conceitos como gradiente, cálculo de derivadas parciais e a definição de trabalho em campos conservativos.

Passo 2

(A) Determinar a função campo gravitacional g(x, y, z).
O campo gravitacional g é dado pelo gradiente do potencial gravitacional V, mas com sinal negativo:
g = -nabla V
O gradiente nabla V é um vetor formado pelas derivadas parciais de V em relação a x, y e z. Vamos calcular cada uma:
  1. Derivada de V em relação a x:
partial Vpartial x = partialpartial x(3x^5 + 9y^3 - 7z^2) = 15x^4
  1. Derivada de V em relação a y:
partial Vpartial y = partialpartial y(3x^5 + 9y^3 - 7z^2) = 27y^2
  1. Derivada de V em relação a z:
partial Vpartial z = partialpartial z(3x^5 + 9y^3 - 7z^2) = -14z
Agora, montamos o vetor gradiente:
nabla V = (15x^4,, 27y^2,, -14z)
Aplicando o sinal negativo:
g(x, y, z) = -nabla V = (-15x^4,; -27y^2,; 14z)

Passo 3

(B) Calcular a variação do potencial gravitacional para uma partícula de massa m que se deslocou do ponto (1,0, 3,0, 5,0) para (3,0, -2,0, 0,0).
Primeiro, vamos identificar os pontos de início e fim:
  • Ponto inicial: $ (x_i, y_i, z_i) = (1, 3, 5) $
  • Ponto final: $ (x_f, y_f, z_f) = (3, -2, 0) $
A variação do potencial $ \Delta V $ é dada por:
(xi, yi, zi) = (1, 3, 5)
Vamos calcular $ V $ em cada ponto:
  1. No ponto inicial $ (1, 3, 5) $:
(xf, yf, zf) = (3, -2, 0)
  1. No ponto final $ (3, -2, 0) $:
De
Agora, a variação do potencial:
De

Passo 4

© Determinar a variação do campo gravitacional nesse deslocamento.
A variação do campo gravitacional $ \Delta \vec{g} $ é a diferença entre o campo final e o campo inicial:
De
Vamos calcular $ \vec{g} $ em cada ponto usando a função que encontramos em (A):
  1. Campo no ponto inicial $ (1, 3, 5) $:
De
  1. Campo no ponto final $ (3, -2, 0) $:
g
Agora, a variação:
(1, 3, 5)

Passo 5

(D) Calcular o trabalho realizado pela força gravitacional, dado que m = 5,0 , kg e que o sistema é conservativo.
Em um campo conservativo, o trabalho $ W $ realizado pela força gravitacional ao mover uma partícula de um ponto a outro é dado por:
W
Onde $ \Delta V $ é a variação do potencial que calculamos na parte (B):
W = -m De

Resposta

(A) g(x, y, z) = (-15x^4,; -27y^2,; 14z)
(B) A variação do potencial gravitacional é $ \Delta V = 586 $
© A variação do campo gravitacional é $ \Delta \vec{g} = (-1200,; 135,; -70) $
(D) O trabalho realizado pela força gravitacional é $ W = -2930 , J $

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