Define-se como Potencial Gravitacional a quantidade de energia potencial gravitacional por unidade de massa gerada por um corpo massivo fonte. Matematicamente, ele é dado por:
V-V0=integralC g cdot d l
Onde o termo V0 denota o potencial conhecido em um dado ponto. Sabendo disso, determine:
(A) O potencial gravitacional criado por uma reta massiva, homogênea e infinita.
(B) O potencial gravitacional criado por uma esfera massiva, homogênea, maciça e de raio R para em pontos r <= R e r>R.
© Esboce os gráficos da variação de potencial para uma esfera maciça e homogênea.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar o potencial gravitacional criado por diferentes distribuições de massa: uma reta infinita homogênea, uma esfera maciça homogênea com raio $ R $, e também esboçar os gráficos desse potencial para a esfera. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de campo gravitacional, integral de linha para calcular o potencial e as propriedades de simetria dessas distribuições de massa.

Passo 2

Parte A: Potencial gravitacional criado por uma reta massiva, homogênea e infinita.
Primeiro, vamos lembrar que o potencial gravitacional $ V $ em um ponto devido a uma distribuição de massa pode ser calculado integrando o campo gravitacional $ \vec{g} $ ao longo de um caminho $ C $:
V
Para uma reta infinita homogênea, o campo gravitacional fora da reta a uma distância $ \rho $ é dado por:
g
onde $ G $ é a constante gravitacional e $ \lambda $ é a densidade linear de massa.
Vamos escolher um ponto de referência onde o potencial $ V_{0} = 0 $ em $ \rho \to \infty $. Integrando o campo gravitacional desde $ \rho $ até o infinito:
C
Onde $ \rho_0 $ é uma constante de integração que pode ser relacionada a $ V_{0} $.

Passo 3

Parte B: Potencial gravitacional criado por uma esfera massiva, homogênea, maciça e de raio $ R $.
Para uma esfera homogênea, o campo gravitacional dentro e fora dela é diferente.
Para $ r > R $ (fora da esfera):
O campo gravitacional é equivalente ao de uma massa pontual no centro:
R
Integrando para encontrar o potencial:
r > R
Para $ r \leq R $ (dentro da esfera):
O campo gravitacional dentro de uma esfera homogênea é dado por:
g = G Mr^2
Integrando para encontrar o potencial:
V = -integralr^infty G Mr'^2 dr' = -G Mr
Simplificando:
r <= R

Passo 4

Parte C: Esboço dos gráficos da variação de potencial para uma esfera maciça e homogênea.
O potencial gravitacional $ V® $ para a esfera homogênea é dado por:
  • Para $ r > R $:
V(r)
  • Para $ r \leq R $:
r > R
O gráfico de $ V® $ em função de $ r $ apresenta:
  • Uma curva que decai de maneira $ 1/r $ para $ r > R $.
  • Uma curva parabólica para $ r \leq R $, indicando que o potencial varia suavemente dentro da esfera.

Resposta

A) O potencial gravitacional devido a uma reta massiva infinita homogênea é:
V(rho) = 2Glambda ln(rhorho0)
B) O potencial gravitacional de uma esfera homogênea é:
  • Para $ r > R $:
r > R
  • Para $ r \leq R $:
V(r) = -G Mr
C) O gráfico do potencial $ V® $ para a esfera homogênea mostra uma transição suave, com $ V® $ decrescendo como $ 1/r $ fora da esfera e apresentando comportamento parabólico dentro dela.

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