Define-se como Potencial Gravitacional a quantidade de energia potencial gravitacional por unidade de massa gerada por um corpo massivo fonte. Matematicamente, ele é dado por:
Onde o termo
denota o potencial conhecido em um dado ponto. Sabendo disso, determine:
(A) O potencial gravitacional criado por uma reta massiva, homogênea e infinita.
(B) O potencial gravitacional criado por uma esfera massiva, homogênea, maciça e de raio
para em pontos
e
.
© Esboce os gráficos da variação de potencial para uma esfera maciça e homogênea.
(A) O potencial gravitacional criado por uma reta massiva, homogênea e infinita.
(B) O potencial gravitacional criado por uma esfera massiva, homogênea, maciça e de raio
© Esboce os gráficos da variação de potencial para uma esfera maciça e homogênea.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar o potencial gravitacional criado por diferentes distribuições de massa: uma reta infinita homogênea, uma esfera maciça homogênea com raio $ R $, e também esboçar os gráficos desse potencial para a esfera. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de campo gravitacional, integral de linha para calcular o potencial e as propriedades de simetria dessas distribuições de massa.
Passo 2
Parte A: Potencial gravitacional criado por uma reta massiva, homogênea e infinita.
Primeiro, vamos lembrar que o potencial gravitacional $ V $ em um ponto devido a uma distribuição de massa pode ser calculado integrando o campo gravitacional $ \vec{g} $ ao longo de um caminho $ C $:
Para uma reta infinita homogênea, o campo gravitacional fora da reta a uma distância $ \rho $ é dado por:
onde $ G $ é a constante gravitacional e $ \lambda $ é a densidade linear de massa.
Vamos escolher um ponto de referência onde o potencial $ V_{0} = 0 $ em $ \rho \to \infty $. Integrando o campo gravitacional desde $ \rho $ até o infinito:
Onde $ \rho_0 $ é uma constante de integração que pode ser relacionada a $ V_{0} $.
Passo 3
Parte B: Potencial gravitacional criado por uma esfera massiva, homogênea, maciça e de raio $ R $.
Para uma esfera homogênea, o campo gravitacional dentro e fora dela é diferente.
Para $ r > R $ (fora da esfera):
O campo gravitacional é equivalente ao de uma massa pontual no centro:
Integrando para encontrar o potencial:
Para $ r \leq R $ (dentro da esfera):
O campo gravitacional dentro de uma esfera homogênea é dado por:
Integrando para encontrar o potencial:
Simplificando:
Passo 4
Parte C: Esboço dos gráficos da variação de potencial para uma esfera maciça e homogênea.
O potencial gravitacional $ V® $ para a esfera homogênea é dado por:
- Para $ r > R $:
- Para $ r \leq R $:
O gráfico de $ V® $ em função de $ r $ apresenta:
- Uma curva que decai de maneira $ 1/r $ para $ r > R $.
- Uma curva parabólica para $ r \leq R $, indicando que o potencial varia suavemente dentro da esfera.
Resposta
A) O potencial gravitacional devido a uma reta massiva infinita homogênea é:
B) O potencial gravitacional de uma esfera homogênea é:
- Para $ r > R $:
- Para $ r \leq R $:
C) O gráfico do potencial $ V® $ para a esfera homogênea mostra uma transição suave, com $ V® $ decrescendo como $ 1/r $ fora da esfera e apresentando comportamento parabólico dentro dela.