Empilham-se
blocos idênticos, de comprimento I cada um, sobre uma mesa horizontal. Qual é a distância
máxima entre as extremidades do último e do primeiro bloco (Fig.) para que a pilha não desabe? Sugestão: Considere as condições de equilíbrio, sucessivamente, de cima para baixo. Faça a experiência! (use blocos de madeira, livros, tijolos, dominós, … idênticos).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem
blocos iguais, cada um com comprimento
, empilhados sobre uma mesa. A missão é descobrir qual é a distância máxima
entre a extremidade do último bloco (o de cima) e a do primeiro bloco (o de baixo) para que a pilha não desabe.
O conteúdo que vamos usar aqui é de estática, que fala sobre equilíbrio de objetos. A gente precisa entender como calcular o equilíbrio da pilha de blocos para garantir que ela fique firme e não caia.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa a pilha estar em equilíbrio. Para que a pilha não desabe, o centro de massa de todos os blocos acima de qualquer bloco da pilha não pode ultrapassar a borda do bloco abaixo. Isso quer dizer que cada bloco na pilha deve estar apoiado de forma que a pilha não puxe para um lado.
Passo 3
Agora, vamos imaginar empilhando os blocos um por um. Cada novo bloco que colocamos sobre o anterior pode criar um pequeno deslizamento para frente, aumentando a distância total
. Mas quanto mais blocos a gente adiciona, menos cada bloco adicional pode deslizá-lo, para manter o equilíbrio.
Passo 4
A fórmula para calcular a distância máxima de cada bloco adicional é baseada na série harmônica. A distância que cada bloco pode se deslocar é dada por
, onde
é a posição do bloco na pilha (1 para o primeiro, 2 para o segundo, e assim por diante).
Passo 5
Então, para encontrar a distância total
, a gente soma todas essas pequenas distâncias dos
blocos. A fórmula fica assim:
Essa soma dentro dos parênteses é conhecida como a
-ésima soma harmônica, que a gente pode escrever como
.
Passo 6
Portanto, a fórmula final para a distância máxima
é:
Onde
.
Resposta
A distância máxima
entre as extremidades do último e do primeiro bloco para que a pilha não desabe é:
Ou, de forma mais compacta:
Onde
é a
-ésima soma harmônica.