Os empregados A, B, C, D ganham 1, 2, 2, 4 salários mínimos, respectivamente. Retiram-se amostras com reposição de 2 indivíduos e medese o salário médio da amostra retirada. Dê a distribuição de probabilidade do salário médio amostral dos empregados, o gráfico da distribuição, a esperança e o desvio padrão de X .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma situação onde quatro empregados, A, B, C e D, ganham respectivamente 1, 2, 2 e 4 salários mínimos. A parada é retirar, com reposição, duas pessoas dessa turma e calcular a média dos salários delas. A matéria que vamos usar aqui é Probabilidade, mais especificamente distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. Vamos precisar listar todas as possíveis combinações de dois empregados, calcular as médias e ver as probabilidades de cada média acontecer.
Passo 2
Primeiro, como estamos tirando amostras com reposição, cada vez que tiramos um empregado, ele volta para a seleção. Então, é possível ter repetições, tipo tirar o funcionário A duas vezes. Vamos listar todas as combinações possíveis de duas retiradas:
- A e A
- A e B
- A e C
- A e D
- B e A
- B e B
- B e C
- B e D
- C e A
- C e B
- C e C
- C e D
- D e A
- D e B
- D e C
- D e D
Passo 3
Temos 16 combinações no total (4 empregados para a primeira retirada multiplicado por 4 para a segunda). Agora, vamos calcular a média salarial para cada uma dessas combinações. Lembrando que a média é a soma dos salários dividida por 2.
- A e A: (1 + 1) / 2 = 1
- A e B: (1 + 2) / 2 = 1.5
- A e C: (1 + 2) / 2 = 1.5
- A e D: (1 + 4) / 2 = 2.5
- B e A: (2 + 1) / 2 = 1.5
- B e B: (2 + 2) / 2 = 2
- B e C: (2 + 2) / 2 = 2
- B e D: (2 + 4) / 2 = 3
- C e A: (2 + 1) / 2 = 1.5
- C e B: (2 + 2) / 2 = 2
- C e C: (2 + 2) / 2 = 2
- C e D: (2 + 4) / 2 = 3
- D e A: (4 + 1) / 2 = 2.5
- D e B: (4 + 2) / 2 = 3
- D e C: (4 + 2) / 2 = 3
- D e D: (4 + 4) / 2 = 4
Passo 4
Agora, vamos contar quantas vezes cada média aparece:
- 1: aparece 1 vez
- 1.5: aparece 4 vezes
- 2: aparece 4 vezes
- 2.5: aparece 2 vezes
- 3: aparece 4 vezes
- 4: aparece 1 vez
Como temos 16 combinações no total, a probabilidade de cada média é o número de vezes que ela aparece dividido por 16.
Passo 5
Vamos montar a distribuição de probabilidade:
Média Salarial (X) | Probabilidade P(X) |
---|---|
1 | 1/16 |
1.5 | 4/16 = 1/4 |
2 | 4/16 = 1/4 |
2.5 | 2/16 = 1/8 |
3 | 4/16 = 1/4 |
4 | 1/16 |
Passo 6
Agora, vamos calcular a esperança (valor esperado) de X. A esperança é uma média ponderada das possíveis médias, onde cada valor é multiplicado pela sua probabilidade.
Calculando:
Passo 7
Para encontrar o desvio padrão, primeiro precisamos calcular a variância. A variância é a média dos quadrados das diferenças entre cada valor e a esperança.
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
A distribuição de probabilidade do salário médio amostral dos empregados é:
Média Salarial (X) | Probabilidade P(X) |
---|---|
1 | 1/16 |
1.5 | 1/4 |
2 | 1/4 |
2.5 | 1/8 |
3 | 1/4 |
4 | 1/16 |
A esperança de X é 2.25 salários mínimos e o desvio padrão de X é aproximadamente 0.77 salários mínimos.