Os empregados A, B, C, D ganham 1, 2, 2, 4 salários mínimos, respectivamente. Retiram-se amostras com reposição de 2 indivíduos e medese o salário médio da amostra retirada. Dê a distribuição de probabilidade do salário médio amostral dos empregados, o gráfico da distribuição, a esperança e o desvio padrão de X .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma situação onde quatro empregados, A, B, C e D, ganham respectivamente 1, 2, 2 e 4 salários mínimos. A parada é retirar, com reposição, duas pessoas dessa turma e calcular a média dos salários delas. A matéria que vamos usar aqui é Probabilidade, mais especificamente distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. Vamos precisar listar todas as possíveis combinações de dois empregados, calcular as médias e ver as probabilidades de cada média acontecer.

Passo 2

Primeiro, como estamos tirando amostras com reposição, cada vez que tiramos um empregado, ele volta para a seleção. Então, é possível ter repetições, tipo tirar o funcionário A duas vezes. Vamos listar todas as combinações possíveis de duas retiradas:
  • A e A
  • A e B
  • A e C
  • A e D
  • B e A
  • B e B
  • B e C
  • B e D
  • C e A
  • C e B
  • C e C
  • C e D
  • D e A
  • D e B
  • D e C
  • D e D

Passo 3

Temos 16 combinações no total (4 empregados para a primeira retirada multiplicado por 4 para a segunda). Agora, vamos calcular a média salarial para cada uma dessas combinações. Lembrando que a média é a soma dos salários dividida por 2.
  • A e A: (1 + 1) / 2 = 1
  • A e B: (1 + 2) / 2 = 1.5
  • A e C: (1 + 2) / 2 = 1.5
  • A e D: (1 + 4) / 2 = 2.5
  • B e A: (2 + 1) / 2 = 1.5
  • B e B: (2 + 2) / 2 = 2
  • B e C: (2 + 2) / 2 = 2
  • B e D: (2 + 4) / 2 = 3
  • C e A: (2 + 1) / 2 = 1.5
  • C e B: (2 + 2) / 2 = 2
  • C e C: (2 + 2) / 2 = 2
  • C e D: (2 + 4) / 2 = 3
  • D e A: (4 + 1) / 2 = 2.5
  • D e B: (4 + 2) / 2 = 3
  • D e C: (4 + 2) / 2 = 3
  • D e D: (4 + 4) / 2 = 4

Passo 4

Agora, vamos contar quantas vezes cada média aparece:
  • 1: aparece 1 vez
  • 1.5: aparece 4 vezes
  • 2: aparece 4 vezes
  • 2.5: aparece 2 vezes
  • 3: aparece 4 vezes
  • 4: aparece 1 vez
Como temos 16 combinações no total, a probabilidade de cada média é o número de vezes que ela aparece dividido por 16.

Passo 5

Vamos montar a distribuição de probabilidade:
Média Salarial (X) Probabilidade P(X)
1 1/16
1.5 4/16 = 1/4
2 4/16 = 1/4
2.5 2/16 = 1/8
3 4/16 = 1/4
4 1/16

Passo 6

Agora, vamos calcular a esperança (valor esperado) de X. A esperança é uma média ponderada das possíveis médias, onde cada valor é multiplicado pela sua probabilidade.
E(X) = (1) times 116 + (1.5) times 416 + (2) times 416 + (2.5) times 216 + (3) times 416 + (4) times 116
Calculando:
E(X) = 116 + 616 + 816 + 516 + 1216 + 416 = 3616 = 2.25

Passo 7

Para encontrar o desvio padrão, primeiro precisamos calcular a variância. A variância é a média dos quadrados das diferenças entre cada valor e a esperança.
Var(X) = sum (Xi - E(X))^2 times P(Xi)
Vamos calcular cada termo:
(1 - 2.25)^2 times 116 = 1.5625 times 116 = 0.0977
(1.5 - 2.25)^2 times 416 = 0.5625 times 416 = 0.1406
(2 - 2.25)^2 times 416 = 0.0625 times 416 = 0.0156
(2.5 - 2.25)^2 times 216 = 0.0625 times 216 = 0.0078
(3 - 2.25)^2 times 416 = 0.5625 times 416 = 0.1406
(4 - 2.25)^2 times 116 = 3.0625 times 116 = 0.1914
Somando tudo:
Var(X) = 0.0977 + 0.1406 + 0.0156 + 0.0078 + 0.1406 + 0.1914 = 0.5927
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Desvio Padrão = raiz0.5927 approx 0.77 ã

Resposta

A distribuição de probabilidade do salário médio amostral dos empregados é:
Média Salarial (X) Probabilidade P(X)
1 1/16
1.5 1/4
2 1/4
2.5 1/8
3 1/4
4 1/16
A esperança de X é 2.25 salários mínimos e o desvio padrão de X é aproximadamente 0.77 salários mínimos.

Exercícios relacionados