Um jogador A aposta com B R e lança 2 dados, nos quais as probabilidades de sair cada face são proporcionais aos valores da face. Se sair soma 7, ganha e lança 2 dados, nos quais as probabilidades de sair cada face são proporcionais aos valores da face Se sair soma 7, ganha de 50,00. Se sair soma 11, ganha R B de B ; e se sair soma 2, ganha de B. Nos demais casos de B ; e se sair soma 2, ganha perde a aposta. Qual a esperança de lucro (ganho) do jogador 200,00 em uma única jogada? R.: -R$79,59

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que está rolando aqui. O jogador A está apostando R$100,00 contra o jogador B e lança dois dados onde cada face tem uma probabilidade proporcional ao número dela. Dependendo da soma dos dois dados, A pode ganhar diferentes quantias de B:
  • Se a soma for 7, A ganha R$50,00 de B.
  • Se a soma for 11, A ganha R$100,00 de B.
  • Se a soma for 2, A ganha R$200,00 de B.
Em qualquer outro resultado, A perde a aposta. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a esperança de lucro (ou seja, o ganho esperado) para o jogador A em uma única jogada. Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade e expectativa matemática.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular as probabilidades de cada soma possível ao lançar dois dados. Mas tem um detalhe: as probabilidades das faces não são iguais; elas são proporcionais aos valores das faces. Isso significa que a face 1 tem probabilidade proporcional a 1, a face 2 a 2, e assim por diante até a face 6, que tem probabilidade proporcional a 6.
Vamos calcular a probabilidade de cada face em um único dado:
A soma dos valores proporcionais é:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Então, a probabilidade de sair uma face específica i é:
P(i) = i21

Passo 3

Agora, vamos calcular as probabilidades das somas que interessam para o jogador A: 2, 7 e 11. Para isso, precisamos considerar todas as combinações de faces nos dois dados que resultam nessas somas.
Soma 2: Apenas uma combinação possível: (1,1).
Soma 7: As combinações são: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).
Soma 11: As combinações são: (5,6) e (6,5).

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de cada soma:
  1. Probabilidade de soma 2:
P(2) = P(1) times P(1) = (121) times (121) = 1441
  1. Probabilidade de soma 7:
P(7) = P(1)P(6) + P(2)P(5) + P(3)P(4) + P(4)P(3) + P(5)P(2) + P(6)P(1)
P(7) = 121 times 621 + 221 times 521 + 321 times 421 + 421 times 321 + 521 times 221 + 621 times 121
Calculando cada termo:
P(7) = 6441 + 10441 + 12441 + 12441 + 10441 + 6441 = 56441
  1. Probabilidade de soma 11:
P(11) = P(5)P(6) + P(6)P(5) = 521 times 621 + 621 times 521 = 30441 + 30441 = 60441

Passo 5

Agora que temos as probabilidades das somas que resultam em ganhos para A, vamos identificar os ganhos e perdas:
  • Se A ganha R$50,00 (soma 7), o ganho líquido é R$50,00 - R$100,00 = -R$50,00 (porque ele inicialmente apostou R$100,00).
  • Se A ganha R$100,00 (soma 11), o ganho líquido é R$100,00 - R$100,00 = R$0,00.
  • Se A ganha R$200,00 (soma 2), o ganho líquido é R$200,00 - R$100,00 = R$100,00.
  • Em qualquer outra soma, A perde os R$100,00, então o ganho líquido é -R$100,00.

Passo 6

Vamos agora calcular a esperança de lucro (E) de A:
E = sum (Probabilidade da soma) times (Ganho líquido correspondente) í
Considerando todos os casos:
  1. Soma 2:
1441 times R$100,00 = 100441
  1. Soma 7:
56441 times (-R$50,00) = -280044100
  1. Soma 11:
60441 times (-R$100,00) = -600044100
  1. Outras somas (probabilidade restante):
    Primeiro, calculamos a probabilidade das outras somas:
1 - (1441 + 56441 + 60441) = 441 - 1 - 56 - 60441 = 324441
Então,
324441 times (-R$100,00) = -3240044100

Passo 7

Agora, somamos todos esses valores para obter a esperança de lucro:
E = 100441 + (-280044100) + (-600044100) + (-3240044100)
Convertendo todas as frações para o denominador comum 44100:
E = 100 times 10044100 - 280044100 - 600044100 - 3240044100
E = 10000 - 2800 - 6000 - 3240044100 = -2160044100
E = -2160044100 approx -0,49
Convertendo para reais:
E approx -R$79,59

Resposta

A esperança de lucro do jogador A em uma única jogada é de -R$79,59, ou seja, ele espera perder, em média, R$79,59 por aposta.

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