Um jogador
aposta com
e lança 2 dados, nos quais as probabilidades de sair cada face são proporcionais aos valores da face. Se sair soma 7, ganha
de
. Se sair soma 11, ganha R
de B ; e se sair soma 2, ganha
de B. Nos demais casos
perde a aposta. Qual a esperança de lucro (ganho) do jogador
em uma única jogada? R.: -R$79,59
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que está rolando aqui. O jogador A está apostando R$100,00 contra o jogador B e lança dois dados onde cada face tem uma probabilidade proporcional ao número dela. Dependendo da soma dos dois dados, A pode ganhar diferentes quantias de B:
- Se a soma for 7, A ganha R$50,00 de B.
- Se a soma for 11, A ganha R$100,00 de B.
- Se a soma for 2, A ganha R$200,00 de B.
Em qualquer outro resultado, A perde a aposta. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a esperança de lucro (ou seja, o ganho esperado) para o jogador A em uma única jogada. Para isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade e expectativa matemática.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular as probabilidades de cada soma possível ao lançar dois dados. Mas tem um detalhe: as probabilidades das faces não são iguais; elas são proporcionais aos valores das faces. Isso significa que a face 1 tem probabilidade proporcional a 1, a face 2 a 2, e assim por diante até a face 6, que tem probabilidade proporcional a 6.
Vamos calcular a probabilidade de cada face em um único dado:
A soma dos valores proporcionais é:
Então, a probabilidade de sair uma face específica i é:
Passo 3
Agora, vamos calcular as probabilidades das somas que interessam para o jogador A: 2, 7 e 11. Para isso, precisamos considerar todas as combinações de faces nos dois dados que resultam nessas somas.
Soma 2: Apenas uma combinação possível: (1,1).
Soma 7: As combinações são: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1).
Soma 11: As combinações são: (5,6) e (6,5).
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de cada soma:
- Probabilidade de soma 2:
- Probabilidade de soma 7:
Calculando cada termo:
- Probabilidade de soma 11:
Passo 5
Agora que temos as probabilidades das somas que resultam em ganhos para A, vamos identificar os ganhos e perdas:
- Se A ganha R$50,00 (soma 7), o ganho líquido é R$50,00 - R$100,00 = -R$50,00 (porque ele inicialmente apostou R$100,00).
- Se A ganha R$100,00 (soma 11), o ganho líquido é R$100,00 - R$100,00 = R$0,00.
- Se A ganha R$200,00 (soma 2), o ganho líquido é R$200,00 - R$100,00 = R$100,00.
- Em qualquer outra soma, A perde os R$100,00, então o ganho líquido é -R$100,00.
Passo 6
Vamos agora calcular a esperança de lucro (E) de A:
Considerando todos os casos:
- Soma 2:
- Soma 7:
- Soma 11:
- Outras somas (probabilidade restante):
Primeiro, calculamos a probabilidade das outras somas:
Então,
Passo 7
Agora, somamos todos esses valores para obter a esperança de lucro:
Convertendo todas as frações para o denominador comum 44100:
Convertendo para reais:
Resposta
A esperança de lucro do jogador A em uma única jogada é de -R$79,59, ou seja, ele espera perder, em média, R$79,59 por aposta.
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