Uma empresa agrícola determinou que a relação entre a produção , em toneladas, de certo tipo de soja e a quantidade , de um certo fertilizante é dada por:
Determine:
O intervalo de decrescimento da produção, ou seja, o intervalo em que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo onde a produção está diminuindo, ou seja, onde a derivada é menor que zero. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função de produção . A derivada nos dá a taxa de variação da produção em relação ao fertilizante .

Passo 3

Calculando a derivada:

Passo 4

Agora, queremos saber quando , ou seja:
Vamos resolver essa inequação.

Passo 5

Rearranjando a inequação:
Multiplicamos por -1 e invertimos o sinal da desigualdade.

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os pontos críticos:
Então, as soluções são:

Passo 7

Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação é verdadeira:

Passo 8

Testando no intervalo :
Testando no intervalo :
Testando no intervalo :

Passo 9

Então, a inequação é satisfeita quando está no intervalo onde , ou seja, ou .

Resposta

O intervalo de decrescimento da produção é para ou .

Exercícios relacionados

Utilize a definição de derivada para encontrar a derivada da função em um número .
Encontre a derivada de cada uma das funções:
Obtenha os limites:
Calcule os seguintes limites: