Uma empresa agrícola determinou que a relação entre a produção
, em toneladas, de certo tipo de soja e a quantidade
, de um certo fertilizante é dada por:
Determine:
O intervalo de decrescimento da produção, ou seja, o intervalo em que
.
O intervalo de decrescimento da produção, ou seja, o intervalo em que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo onde a produção
está diminuindo, ou seja, onde a derivada
é menor que zero. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função de produção
. A derivada nos dá a taxa de variação da produção em relação ao fertilizante
.
Passo 3
Calculando a derivada:
Passo 4
Agora, queremos saber quando
, ou seja:
Vamos resolver essa inequação.
Passo 5
Rearranjando a inequação:
Multiplicamos por -1 e invertimos o sinal da desigualdade.
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática
para encontrar os pontos críticos:
Então, as soluções são:
Passo 7
Esses pontos dividem a reta numérica em intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação
é verdadeira:
Passo 8
Testando
no intervalo
:
Testando
no intervalo
:
Testando
no intervalo
:
Passo 9
Então, a inequação
é satisfeita quando
está no intervalo onde
, ou seja,
ou
.
Resposta
O intervalo de decrescimento da produção é para
ou
.
Exercícios relacionados
Utilize a definição de derivada para encontrar a derivada da função
em um número
.
Encontre a derivada de cada uma das funções:
Obtenha os limites:
Calcule os seguintes limites: