Utilize a definição de derivada para encontrar a derivada da função em um número .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função e o objetivo é usar a definição de derivada para encontrar a derivada dessa função em um ponto específico . Isso envolve entender como a função muda quando a gente faz uma pequeníssima variação em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da derivada. A derivada de no ponto é dada por:
Onde é uma variação bem pequena em . Nosso objetivo é calcular esse limite usando a função .

Passo 3

Vamos substituir e na definição:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos multiplicar e dividir pela expressão conjugada do numerador. Isso ajuda a eliminar as raízes:

Passo 5

Aplicando a identidade no numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, podemos cancelar o do numerador com o do denominador:

Passo 7

Finalmente, ao fazer aproximar de 0, a expressão dentro das raízes fica . Então:

Resposta

A derivada da função em um número é:

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Encontre os pontos críticos de .
Uma empresa agrícola determinou que a relação entre a produção , em toneladas, de certo tipo de soja e a quantidade , de um certo fertilizante é dada por:
Determine:
O intervalo de decrescimento da produção, ou seja, o intervalo em que .
Obtenha os limites: