Utilize a definição de derivada para encontrar a derivada da função
em um número
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função
e o objetivo é usar a definição de derivada para encontrar a derivada dessa função em um ponto específico
. Isso envolve entender como a função muda quando a gente faz uma pequeníssima variação em
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da derivada. A derivada de
no ponto
é dada por:
Onde
é uma variação bem pequena em
. Nosso objetivo é calcular esse limite usando a função
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na definição:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Para resolver esse limite, vamos multiplicar e dividir pela expressão conjugada do numerador. Isso ajuda a eliminar as raízes:
Passo 5
Aplicando a identidade
no numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, podemos cancelar o
do numerador com o do denominador:
Passo 7
Finalmente, ao fazer
aproximar de 0, a expressão dentro das raízes fica
. Então:
Resposta
A derivada da função
em um número
é:
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.
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Determine:
O intervalo de decrescimento da produção, ou seja, o intervalo em que .
O intervalo de decrescimento da produção, ou seja, o intervalo em que
Obtenha os limites: