Uma empresa de aviação tem uma política de vender 98 passą̧ens para umavião que suportz apenas 94 passageiros. Estudos demonstram que apenas 95%dos passageiros agendados comparecem para o voo. Para um determinado vôo, 96 passagens são vendidas, pede-se a probabilidade de que a aeronave voe lotada, ou seja, sem deixar passageiro em terra. (2,5pontos)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre uma empresa de aviação que vendeu 96 passagens para um avião que só tem 94 assentos. Sabemos que, em geral, apenas 95% dos passageiros que compram passagens acabam realmente embarcando. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de que o voo ocorra “lotado”, ou seja, que não haja passageiros esperando na porta porque todos que quiserem embarcar conseguiram um assento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a quantidade de passageiros que realmente vão embarcar. Como cada passagem tem 95% de chance de ser utilizada, podemos modelar isso usando a Distribuição Binomial. Essa distribuição nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de sucessos (neste caso, passageiros que mostram) em várias tentativas independentes (passagens vendidas).
A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
onde:
  • é o número total de tentativas (96 passagens),
  • é o número de sucessos desejados (passageiros que comparecem),
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,95).

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que até 94 passageiros compareçam, ou seja, mu = n times p = 96 times 0,95 = 91,2 . No entanto, com sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz96 times 0,95 times 0,05 approx 2,14 e Z = 94 + 0,5 - musigma = 94,5 - 91,22,14 approx 1,54 , calcular isso diretamente pode ser um pouco complicado devido ao grande número de combinações.
Por isso, vamos usar a aproximação normal para simplificar os cálculos. Para isso, primeiro calculamos a média ( ) e o desvio padrão ( ) da distribuição binomial:
Agora, queremos encontrar a probabilidade de . Convertendo isso para a escala normal:
Usamos no numerador para aplicar a correção de continuidade.

Passo 4

Consultando uma tabela de valores da Distribuição Normal Padrão, encontramos que:
P(Z <= 1,54) approx 0,9231 ou 92,31%
Isso significa que há aproximadamente 92,31% de chance do voo ocorrer sem deixar passageiros na porta.

Resposta

A probabilidade de que a aeronave voe lotada, sem deixar passageiros em terra, é de aproximadamente 92,31%.

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