Uma empresa de cartão de crédito sabe que 20% de seus clientes são inadimplentes. Selecionou-se aleatoriamente uma amostra de 50 clientes.
a) Qual a probabilidade de encontrar no máximo 10 clientes inadimplentes na amostra?
b) Qual o número esperado de clientes inadimplentes na amostra?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre uma empresa de cartão de crédito que sabe que 20% dos clientes não pagam as contas (inadimplentes). Eles pegaram uma amostra aleatória de 50 clientes. Precisamos calcular duas coisas:
a) A probabilidade de ter no máximo 10 clientes inadimplentes nessa amostra.
b) O número esperado de clientes inadimplentes na amostra.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas (neste caso, 50 clientes), cada tentativa tem dois resultados possíveis (inadimplente ou não), e a probabilidade de sucesso (ser inadimplente) é constante.

Passo 2

Parte a): Queremos a probabilidade de ter no máximo 10 clientes inadimplentes numa amostra de 50. A distribuição binomial é perfeita para isso. A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n = 50 $ (número de clientes)
  • $ k $ é o número de inadimplentes que queremos (até 10)
  • $ p = 0.20 $ (probabilidade de um cliente ser inadimplente)
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ inadimplentes entre $ n $ clientes.
Para achar a probabilidade de no máximo 10 inadimplentes, precisamos somar as probabilidades de ter 0, 1, 2, …, até 10 inadimplentes:
n = 50
Esse cálculo pode ser feito usando uma calculadora científica com função binomial ou algum software estatístico.

Passo 3

Parte b): Agora, vamos encontrar o número esperado de clientes inadimplentes na amostra. O valor esperado $ E(X) $ numa distribuição binomial é dado por:
E(X)
Onde:
  • $ n = 50 $
  • $ p = 0.20 $
Então, basta multiplicar esses valores.

Resposta

a) A probabilidade de encontrar no máximo 10 clientes inadimplentes na amostra de 50 é aproximadamente 0,951 (ou 95,1%).
b) O número esperado de clientes inadimplentes na amostra é 10.

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