Uma fábrica produz um lote de 1000 unidades de um determinado produto. Sabe-se que 5% das unidades estão com defeitos. Um cliente compra uma amostra de 20 unidades. Qual a probabilidade de que o cliente encontre no máximo 2 unidades defeituosas?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma fábrica que fez 1000 unidades de um produto, e sabemos que 5% delas estão com defeito. Um cliente compra 20 dessas unidades e quer saber qual a chance de encontrar no máximo 2 defeitos nessa amostra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, mais especificamente a Distribuição Binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrerem em um experimento com resultados independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Número total de unidades (N): 1000
- Porcentagem de defeitos §: 5% ou 0,05
- Tamanho da amostra (n): 20 unidades
- Número máximo de defeitos desejados (k): 2
Passo 3
Como estamos lidando com uma situação onde temos um número fixo de tentativas (n = 20), cada tentativa tem dois resultados possíveis (defeito ou não defeito), e a probabilidade de sucesso (defeito) é constante (p = 0,05), a Distribuição Binomial é apropriada aqui.
A fórmula da Distribuição Binomial é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k defeitos em n tentativas.
- $ p^k $ é a probabilidade de ocorrer k defeitos.
- $ (1 - p)^{n - k} $ é a probabilidade de ocorrer os restantes $ n - k $ sem defeito.
Passo 4
Queremos a probabilidade de encontrar no máximo 2 defeitos, ou seja, 0, 1 ou 2 defeitos. Isso significa que precisamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $ e $ P(X = 2) $ e somar esses valores.
Vamos calcular cada um:
a) Probabilidade de 0 defeitos ($ k = 0 $):
b) Probabilidade de 1 defeito ($ k = 1 $):
c) Probabilidade de 2 defeitos ($ k = 2 $):
Passo 5
Agora, somamos essas probabilidades para obter a chance de encontrar no máximo 2 defeitos:
Resposta
A probabilidade de que o cliente encontre no máximo 2 unidades defeituosas na amostra de 20 é de aproximadamente 92,46%.