Uma fábrica produz um lote de 1000 unidades de um determinado produto. Sabe-se que 5% das unidades estão com defeitos. Um cliente compra uma amostra de 20 unidades. Qual a probabilidade de que o cliente encontre no máximo 2 unidades defeituosas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma fábrica que fez 1000 unidades de um produto, e sabemos que 5% delas estão com defeito. Um cliente compra 20 dessas unidades e quer saber qual a chance de encontrar no máximo 2 defeitos nessa amostra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, mais especificamente a Distribuição Binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrerem em um experimento com resultados independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Número total de unidades (N): 1000
  • Porcentagem de defeitos §: 5% ou 0,05
  • Tamanho da amostra (n): 20 unidades
  • Número máximo de defeitos desejados (k): 2

Passo 3

Como estamos lidando com uma situação onde temos um número fixo de tentativas (n = 20), cada tentativa tem dois resultados possíveis (defeito ou não defeito), e a probabilidade de sucesso (defeito) é constante (p = 0,05), a Distribuição Binomial é apropriada aqui.
A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k defeitos em n tentativas.
  • $ p^k $ é a probabilidade de ocorrer k defeitos.
  • $ (1 - p)^{n - k} $ é a probabilidade de ocorrer os restantes $ n - k $ sem defeito.

Passo 4

Queremos a probabilidade de encontrar no máximo 2 defeitos, ou seja, 0, 1 ou 2 defeitos. Isso significa que precisamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $ e $ P(X = 2) $ e somar esses valores.
Vamos calcular cada um:

a) Probabilidade de 0 defeitos ($ k = 0 $):

P(X = 0)

b) Probabilidade de 1 defeito ($ k = 1 $):

P(X = 1)

c) Probabilidade de 2 defeitos ($ k = 2 $):

P(X = 2)

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades para obter a chance de encontrar no máximo 2 defeitos:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0,3585 + 0,3774 + 0,1887 = 0,9246

Resposta

A probabilidade de que o cliente encontre no máximo 2 unidades defeituosas na amostra de 20 é de aproximadamente 92,46%.

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