Uma loja recebe, em média, 20 clientes por hora. Qual a probabilidade de chegarem mais de 3 clientes nos próximos 10 minutos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que uma loja recebe, em média, 20 clientes por hora. A pergunta é: qual a probabilidade de chegarem mais de 3 clientes nos próximos 10 minutos? Para resolver isso, vamos usar o Processo de Poisson, que é ótimo para calcular probabilidades de eventos que ocorrem aleatoriamente em um intervalo de tempo fixo.

Passo 2

Primeiro, precisamos ajustar a média de clientes para o período de 10 minutos. Como temos 20 clientes por 60 minutos, a média para 10 minutos é:
lambda = 20 times 1060 = 20060 approx 3,333
Então, nossa média ( lambda) para 10 minutos é aproximadamente 3,333 clientes.

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de mais de 3 clientes chegarem nesses 10 minutos. Em termos de probabilidade, isso é:
P(X > 3) = 1 - P(X <= 3)
Ou seja, vamos calcular a probabilidade de 3 ou menos clientes e subtrair de 1.

Passo 4

Usando a fórmula de Poisson:
P(X = k) = lambda^k cdot e^-lambdak!
Vamos calcular para k = 0, 1, 2, 3.
Para k = 0:
P(0) = 3,333^0 cdot e^-3,3330! = e^-3,333 approx 0,0359
Para k = 1:
P(1) = 3,333^1 cdot e^-3,3331! = 3,333 cdot e^-3,333 approx 0,1197
Para k = 2:
P(2) = 3,333^2 cdot e^-3,3332! = 11,11 cdot e^-3,3332 approx 0,1995
Para k = 3:
P(3) = 3,333^3 cdot e^-3,3333! = 37,034 cdot e^-3,3336 approx 0,2222

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X <= 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) approx 0,0359 + 0,1197 + 0,1995 + 0,2222 = 0,5773

Passo 6

Finalmente, a probabilidade de mais de 3 clientes chegarem é:
P(X > 3) = 1 - P(X <= 3) = 1 - 0,5773 = 0,4227

Resposta

A probabilidade de chegarem mais de 3 clientes nos próximos 10 minutos é aproximadamente 42,27%.

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