Uma empresa de chocolates consultou o gerente de produção e verificou que existem cinco tipos diferentes de barras de chocolate que podem ser produzidas, com os seguintes preços no mercado: • Barra I: R$ 2,00; • Barra II: R$ 3,50; • Barra III: R$ 4,00; • Barra IV: R$ 7,00; • Barra V: R$ 8,00. Analisando as tendências do mercado, que incluem a quantidade vendida e a procura pelos consumidores, o gerente de vendas da empresa verificou que o lucro L com a venda de barras de chocolate é expresso pela função L(x) = – x2 + 14x – 45, em que x representa o preço da barra de chocolate. A empresa decide investir na fabricação da barra de chocolate cujo preço praticado no mercado renderá o maior lucro. Nessas condições, a empresa deverá investir na produção da barra
a) I
b) II
c) III
d) IV

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre uma empresa de chocolates que produz cinco tipos diferentes de barras, cada uma com um preço específico no mercado. O gerente de vendas descobriu que o lucro da venda dessas barras pode ser calculado usando a função $ L(x) = -x^2 + 14x - 45 $, onde $ x $ é o preço da barra. Nosso objetivo aqui é descobrir qual barra a empresa deve investir para obter o maior lucro possível.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a função de lucro $ L(x) $. Ela é uma função quadrática, que tem a forma geral $ ax^2 + bx + c $. No nosso caso, $ a = -1 $, $ b = 14 $ e $ c = -45 $. Como o coeficiente de $ x^2 $ é negativo ($ a = -1 $), isso significa que o gráfico da função é uma parábola que abre para baixo, ou seja, tem um ponto máximo.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o valor de $ x $ que maximiza o lucro. Para funções quadráticas, o ponto máximo (vértice da parábola) ocorre em $ x = -\frac{b}{2a} $. Vamos calcular isso:
x
Então, o preço que maximiza o lucro é R$7,00.

Passo 4

Agora que sabemos que o preço ideal é R$7,00, vamos ver qual das barras tem esse preço. Olhando as opções:
  • Barra I: R$2,00
  • Barra II: R$3,50
  • Barra III: R$4,00
  • Barra IV: R$7,00
  • Barra V: R$8,00
A Barra IV é a que tem o preço de R$7,00, que é exatamente o valor que maximiza o lucro da empresa.

Resposta

A empresa deverá investir na produção da barra d) IV.

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