PINOS n barX S
Pino diâmetro 3/8 10 6,140 0,9
Pino diâmetro 1/2 13 4,250 1,3
Construir um intervalo de confiança de 98% para diferença entre as resistências médias de corte, supondo normalidade das duas populações e variâncias distintas. Interpretar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente construir um intervalo de confiança de 98% para a diferença entre as resistências médias de corte de dois tipos de pinos: um com diâmetro de 3/8 e outro de 1/2. A matéria envolvida aqui é Estatística, mais especificamente, intervalo de confiança para a diferença de médias. Vamos precisar saber o tamanho das amostras, as médias e os desvios padrão de cada grupo, que já foram fornecidos na tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa de valores onde esperamos que a verdadeira diferença entre as médias esteja, com um certo nível de confiança, que aqui é de 98%.

Passo 3

Como estamos comparando as médias de dois grupos independentes e assumindo que as variâncias são diferentes, vamos usar o intervalo de confiança para a diferença de médias com variâncias desiguais, também conhecido como Intervalo de Welch.

Passo 4

A fórmula para o intervalo de confiança de 98% é:
(barX1 - barX2) pm talpha/2 times raizS1^2n1 + S2^2n2
Onde:
  • e são as médias das amostras.
  • e são os desvios padrão das amostras.
  • e são os tamanhos das amostras.
  • é o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de confiança desejado.

Passo 5

Vamos identificar os valores:
  • Nível de confiança = 98%, então e

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de df = (S1^2n1 + S2^2n2)^2(S1^2n1)^2n1 - 1 + (S2^2n2)^2n2 - 1 . Como as variâncias são desiguais, usamos a fórmula de Welch para os graus de liberdade ( df = (0,9^210 + 1,3^213)^2(0,9^210)^210 - 1 + (1,3^213)^213 - 1 approx 16,15 ):
Calculando:
Arredondamos para 16 graus de liberdade.

Passo 7

Consultando a tabela t de Student para e , encontramos .

Passo 8

Agora, vamos calcular a diferença das médias e o erro padrão:
barX1 - barX2 = 6,140 - 4,250 = 1,89
raiz0,9^210 + 1,3^213 = raiz0,8110 + 1,6913 approx raiz0,081 + 0,13 approx raiz0,211 approx 0,46

Passo 9

Multiplicamos o valor t pelo erro padrão:
2,583 times 0,46 approx 1,185

Passo 10

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
1,89 pm 1,185 Rightarrow [0,705 ; 3,075]

Resposta

O intervalo de confiança de 98% para a diferença entre as resistências médias de corte é de aproximadamente 0,705 a 3,075. Isso significa que estamos 98% confiantes de que, em média, os pinos de diâmetro 3/8 têm uma resistência de corte entre 0,705 e 3,075 unidades maior que os pinos de diâmetro 1/2.

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