Um engenheiro da qualidade implanta um modelo de controle estatístico do processo. Considerando o procedimento passa-não-passa o inspetor da qualidade toma uma amostra de n produtos e registra a v.a.
número de produtos inspecionados até encontrar o primeiro defeituoso. Pede-se:
Determine a distribuição de probabilidade
número de produtos perfeitos até encontrar o primeiro defeituoso
Determine a distribuição de probabilidade
Passo 1
Então, temos um engenheiro da qualidade que está usando um modelo de controle estatístico para verificar a qualidade dos produtos. Ele usa um procedimento chamado “passa-não-passa”. Nesse contexto, ele pega uma amostra de n produtos e registra a variável aleatória
, que representa o número de produtos inspecionados até encontrar o primeiro defeituoso. O que precisamos descobrir é a distribuição de probabilidade de
, que é o número de produtos perfeitos encontrados até o primeiro defeituoso.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de distribuição geométrica e como relacionar as duas variáveis aleatórias
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição geométrica. A distribuição geométrica modela o número de tentativas necessárias até o primeiro sucesso em uma sequência de experimentos independentes, onde cada experimento tem a mesma probabilidade de sucesso.
No nosso caso, definir o “sucesso” como encontrar um produto defeituoso. Assim,
segue uma distribuição geométrica, pois conta quantos produtos são inspecionados até encontrar o primeiro defeituoso.
A fórmula da distribuição geométrica é:
onde:
-
é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso. -
é o número de tentativas até o primeiro sucesso.
Passo 3
Agora, vamos relacionar
com
. Sabemos que
é o número de produtos perfeitos antes do primeiro defeituoso. Ou seja:
Isso porque
inclui o primeiro defeituoso, então para obter apenas os perfeitos, subtraímos 1.
Passo 4
Vamos agora encontrar a distribuição de
. Sabendo que
segue uma distribuição geométrica, podemos expressar
em termos de
.
Se
, então:
Portanto, para
, temos
.
Passo 5
Substituindo na fórmula da distribuição geométrica para
:
Então, a distribuição de
também segue uma distribuição geométrica, mas deslocada.
Resposta
A distribuição de probabilidade de
é: