Um engenheiro da qualidade implanta um modelo de controle estatístico do processo. Considerando o procedimento passa-não-passa o inspetor da qualidade toma uma amostra de n produtos e registra a v.a. N1= número de produtos inspecionados até encontrar o primeiro defeituoso. Pede-se:
Determine a distribuição de probabilidade N2= número de produtos perfeitos até encontrar o primeiro defeituoso

Passo 1

Então, temos um engenheiro da qualidade que está usando um modelo de controle estatístico para verificar a qualidade dos produtos. Ele usa um procedimento chamado “passa-não-passa”. Nesse contexto, ele pega uma amostra de n produtos e registra a variável aleatória , que representa o número de produtos inspecionados até encontrar o primeiro defeituoso. O que precisamos descobrir é a distribuição de probabilidade de , que é o número de produtos perfeitos encontrados até o primeiro defeituoso.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de distribuição geométrica e como relacionar as duas variáveis aleatórias e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição geométrica. A distribuição geométrica modela o número de tentativas necessárias até o primeiro sucesso em uma sequência de experimentos independentes, onde cada experimento tem a mesma probabilidade de sucesso.
No nosso caso, definir o “sucesso” como encontrar um produto defeituoso. Assim, P(N1 = k) = (1 - p)^k-1 cdot p segue uma distribuição geométrica, pois conta quantos produtos são inspecionados até encontrar o primeiro defeituoso.
A fórmula da distribuição geométrica é:
onde:
  • é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso.
  • é o número de tentativas até o primeiro sucesso.

Passo 3

Agora, vamos relacionar N2 = N1 - 1 com . Sabemos que é o número de produtos perfeitos antes do primeiro defeituoso. Ou seja:
Isso porque inclui o primeiro defeituoso, então para obter apenas os perfeitos, subtraímos 1.

Passo 4

Vamos agora encontrar a distribuição de N2 = k - 1 . Sabendo que segue uma distribuição geométrica, podemos expressar em termos de .
Se , então:
Portanto, para , temos .

Passo 5

Substituindo na fórmula da distribuição geométrica para P(N2 = m) = P(N1 = m + 1) = (1 - p)^(m + 1) - 1 cdot p = (1 - p)^m cdot p :
Então, a distribuição de também segue uma distribuição geométrica, mas deslocada.

Resposta

A distribuição de probabilidade de P(N2 = m) = (1 - p)^m cdot p para m = 0, 1, 2, dots é:

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