Um indivíduo pode usar uma de duas rotas em seu caminho de volta pra casa. Na primeira rota, há 4 cruzamentos com ferrovias. A outra rota é mais longa, mas tem apenas 2 cruzamentos. Um dia, o indivíduo tem um compromisso em casa com hora marcada. A probabilidade de ele ter de parar em qualquer um dos cruzamentos é de 0,1. Ele estima que chegará atrasado se for parado por trens em pelo menos metade dos cruzamentos encontrados. Os trens operam de forma independente em todos os cruzamentos.
Que rota ele deve seguir para minimizar a probabilidade de chegar atrasado?
(R: P( atraso mid rota 1 )=0,0523 ; P( atraso mid rota 2 )=0,19)

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre um cara que tem duas rotas para voltar pra casa. A primeira rota tem 4 cruzamentos com ferrovias e a segunda tem 2 cruzamentos, mas é mais longa. A probabilidade de ele ter que parar em qualquer cruzamento é de 0,1 (ou 10%). Se ele for parado em pelo menos metade dos cruzamentos que encontrar, ele chega atrasado. Nosso objetivo é descobrir qual rota ele deve escolher para ter menos chance de chegar atrasado.
Vamos precisar usar um pouco de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a chance de eventos independentes acontecerem um certo número de vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar Rota 1, que tem 4 cruzamentos. Ele vai chegar atrasado se for parado em pelo menos metade, ou seja, em 2, 3 ou 4 cruzamentos.
A fórmula da distribuição binomial é:
P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (cruzamentos),
  • $ k $ é o número de sucessos (paradas),
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 3

Para Rota 1:
  • $ n = 4 $
  • $ p = 0,1 $
  • Queremos $ P(atraso) = P(k \geq 2) = P(2) + P(3) + P(4) $
Vamos calcular cada parte:
  1. Para $ k = 2 $:
n = 4
  1. Para $ k = 3 $:
p = 0,1
  1. Para $ k = 4 $:
P(atraso) = P(k >= 2) = P(2) + P(3) + P(4)
Agora, somando tudo:
k = 2

Passo 4

Agora, vamos para a Rota 2, que tem 2 cruzamentos. Ele vai chegar atrasado se for parado em pelo menos metade, ou seja, em 1 ou 2 cruzamentos.
Usando a mesma fórmula:
P(atraso na Rota 2) = P(1) + P(2)
Vamos calcular:
  1. Para $ k = 1 $:
k = 1
  1. Para $ k = 2 $:
P(1) = binom21 times 0,1^1 times 0,9^1 = 2 times 0,1 times 0,9 = 0,18
Somando:
k = 2

Resposta

Comparando as probabilidades, Rota 1 tem uma chance de atraso de 0,0523 e Rota 2 de 0,19. Portanto, para minimizar a probabilidade de chegar atrasado, ele deve escolher Rota 1.

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