Uma empresa construiu um poço para armazenar água de reúso. O custo para construir o primeiro metro foi de R$ 1.000,00, e cada novo metro custou R$ 200,00 a mais do que o imediatamente anterior. Se o custo total da construção foi de R$ 48.600,00 a profundidade do poço é.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma empresa que construiu um poço, e o custo para cada metro de profundidade aumenta de R
1.000,00 e o custo total foi de R$ 48.600,00. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi a profundidade do poço, ou seja, quantos metros foram construídos.
Passo 2
Para resolver isso, vamos usar o conceito de progressão aritmética. Em uma progressão aritmética (PA), cada termo é igual ao anterior mais uma constante, chamada de razão. No nosso caso:
- O primeiro termo $ a_1 $ é R$ 1.000,00.
- A razão $ d $ é R
200,00 a mais que o anterior).
Queremos encontrar o número de metros $ n $ que totalizaram R$ 48.600,00.
Passo 3
A soma dos $ n $ primeiros termos de uma PA é dada pela fórmula:
Onde:
- $ S_n $ é a soma total (R$ 48.600,00),
- $ a_1 $ é o primeiro termo (R$ 1.000,00),
- $ d $ é a razão (R$ 200,00),
- $ n $ é o número de termos que queremos encontrar.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula e resolver para $ n $:
Simplificando:
Agora, temos uma equação quadrática:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 100:
Resolvendo essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 9 $, e $ c = -486 $:
Desconsiderando a solução negativa:
Resposta
A profundidade do poço é de 18 metros.