Uma empresa construiu um poço para armazenar água de reúso. O custo para construir o primeiro metro foi de R$ 1.000,00, e cada novo metro custou R$ 200,00 a mais do que o imediatamente anterior. Se o custo total da construção foi de R$ 48.600,00 a profundidade do poço é.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma empresa que construiu um poço, e o custo para cada metro de profundidade aumenta de R 200,00 em relação ao metro anterior O primeiro metro custou Rçã 1.000,00 e o custo total foi de R$ 48.600,00. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi a profundidade do poço, ou seja, quantos metros foram construídos.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar o conceito de progressão aritmética. Em uma progressão aritmética (PA), cada termo é igual ao anterior mais uma constante, chamada de razão. No nosso caso:
  • O primeiro termo $ a_1 $ é R$ 1.000,00.
  • A razão $ d $ é R a1  200,00 a mais que o anterior).
Queremos encontrar o número de metros $ n $ que totalizaram R$ 48.600,00.

Passo 3

A soma dos $ n $ primeiros termos de uma PA é dada pela fórmula:
n
Onde:
  • $ S_n $ é a soma total (R$ 48.600,00),
  • $ a_1 $ é o primeiro termo (R$ 1.000,00),
  • $ d $ é a razão (R$ 200,00),
  • $ n $ é o número de termos que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula e resolver para $ n $:
n
Simplificando:
48.600 = n2 times (2 times 1.000 + (n - 1) times 200)
48.600 = n2 times (2.000 + 200n - 200)
48.600 = n2 times (1.800 + 200n)
48.600 = n2 times 200n + n2 times 1.800
Agora, temos uma equação quadrática:
48.600 = 100n^2 + 900n
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 100:
100n^2 + 900n - 48.600 = 0
Resolvendo essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
n^2 + 9n - 486 = 0
Onde $ a = 1 $, $ b = 9 $, e $ c = -486 $:
n = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = 1
b = 9
Desconsiderando a solução negativa:
c = -486

Resposta

A profundidade do poço é de 18 metros.

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