Em uma linha de produção, o comprimento médio de um tipo de haste metálica era de 100 cm . Uma amostra de 25 hastes revelou uma média de 102 cm , com desvio padrão de 3 cm . Teste a hipótese de que o comprimento médio aumentou (nível de significância de ).

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está nos pedindo. Temos uma linha de produção onde o comprimento médio das hastes metálicas era de 100 cm. Foi realizada uma amostra com 25 hastes, e a média encontrada foi de 102 cm, com um desvio padrão de 3 cm. Precisamos testar a hipótese de que o comprimento médio aumentou, usando um nível de significância de 1%.
Estamos lidando com teste de hipóteses na estatística inferencial. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos como hipótese nula, hipótese alternativa, nível de significância, teste estatístico adequado, cálculo da estatística de teste e conclusão baseada no valor crítico.

Passo 2

Definiremos as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula ( ) representa a situação atual, enquanto a hipótese alternativa ( ) representa o que queremos testar.
  • Hipótese nula ( ): O comprimento médio das hastes não aumentou. Matemáticamente, cm.
  • Hipótese alternativa ( ): O comprimento médio das hastes aumentou. Matemáticamente, cm.

Passo 3

Escolheremos o teste estatístico apropriado. Como temos uma amostra pequena (n = 25) e conhecemos o desvio padrão da amostra, usaremos o teste t de Student para uma amostra.

Passo 4

Calcularemos a estatística de teste usando a fórmula do teste t:
Onde:
  • cm (média da amostra)
  • cm (média hipotética)
  • cm (desvio padrão da amostra)
  • (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:

Passo 5

Determinar o valor crítico para o nível de significância de 1%. Como estamos fazendo um teste unilateral (aumento), procuramos o valor crítico t correspondente a 0,99 (já que 1% de significância está na cauda direita) com graus de liberdade.
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico í é aproximadamente 2,492.

Passo 6

Comparar a estatística de teste com o valor crítico:
í
Como a estatística de teste é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, há evidências suficientes para afirmar, com nível de significância de 1%, que o comprimento médio das hastes metálicas aumentou.

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