Uma fábrica de peças metálicas quer comparar o peso médio de peças produzidas em duas máquinas diferentes. Amostras de 15 peças de cada máquina revelaram os seguintes dados:
Máquina 1: média =500 g, desvio padrão =5 g
Máquina 2: média =505 g, desvio padrão =6 g
Teste se há diferença significativa nos pesos médios (nível de significância de 5 % ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma fábrica quer saber se o peso médio das peças produzidas por duas máquinas é diferente. Temos dados de 15 peças de cada máquina:
  • Máquina 1: média = 500 g, desvio padrão = 5 g
  • Máquina 2: média = 505 g, desvio padrão = 6 g
Vamos usar Teste de Hipótese para a diferença de médias com nível de significância de 5%. Isso envolve comparar as médias das duas máquinas para ver se a diferença observada é significativa ou apenas por acaso.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que queremos testar:
  • Hipótese Nula (H₀): Não há diferença nos pesos médios das peças das duas máquinas. Ou seja, a média da Máquina 1 é igual à média da Máquina 2. Matemáticamente:
  • Hipótese Alternativa (H₁): Há diferença nos pesos médios das peças das duas máquinas. Ou seja, a média da Máquina 1 é diferente da média da Máquina 2. Matemáticamente:

Passo 3

Agora, vamos escolher qual teste estatístico usar. Como temos duas amostras independentes com tamanhos pequenos (15 cada) e não conhecemos a variância da população, vamos usar o Teste t para duas amostras independentes.
Precisamos garantir que:
  1. As amostras são independentes.
  2. Os dados seguem uma distribuição aproximadamente normal.
  3. As variâncias são iguais (ou não), mas vamos assumir que são iguais para simplificar.

Passo 4

Vamos calcular o estatístico t usando a fórmula:
t = barx1 - barx2sp cdot raiz1n1 + 1n2
Onde:
  • sp^2 = (n1 - 1)s1^2 + (n2 - 1)s2^2n1 + n2 - 2 = (15-1)(5)^2 + (15-1)(6)^215+15-2 = 14 cdot 25 + 14 cdot 3628 = 350 + 50428 = 85428 approx 30.5 g
  • t = 500 - 5055.522 cdot raiz115 + 115 = -55.522 cdot raiz215 approx -55.522 cdot 0.3651 approx -52.016 approx -2.48 g
  • g
  • g
Primeiro, calculamos a variância combinada (sₚ²):
Então,
Agora, calculamos o t:

Passo 5

Vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 5% e os graus de liberdade (df):
df = n1 + n2 - 2 = 15 + 15 - 2 = 28
Consultando uma tabela t para df = 28 e nível de significância de 5% (teste bicaudal), o valor crítico é aproximadamente ±2.048.
Comparando com nosso t calculado:
-2.48 < -2.048 ou 2.48 > 2.048
Como , a gente rejeita a Hipótese Nula.

Passo 6

Finalmente, vamos concluir:
Como o valor absoluto do nosso t calculado é maior que o valor crítico, temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese de que as médias dos pesos das peças das duas máquinas são iguais. Ou seja, há uma diferença significativa nos pesos médios das peças produzidas pelas duas máquinas, ao nível de significância de 5%.

Resposta

Há uma diferença significativa nos pesos médios das peças produzidas pelas duas máquinas.

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