Uma empresa de engenharia está testando a fadiga de materiais em estruturas de pontes. Os testes são realizados por três laboratórios distintos: X, Y e Z. As probabilidades de diagnóstico correto (positivo verdadeiro) de fadiga pelos laboratórios são 0,92,0,88 e 0,85 , respectivamente. As probabilidades de diagnóstico incorreto (falso positivo) são 0,07 para o laboratório X, 0,1 para o Y, e 0,12 para o Z. Sabemos que 50 % dos testes são realizados pelo laboratório X, 30 % pelo Y, e 20 % pelo Z. Se um diagnóstico positivo de fadiga é emitido, qual é a probabilidade de que o material realmente esteja fadigado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre três laboratórios que testam se materiais de pontes estão com fadiga. Cada laboratório tem uma certa chance de dar o diagnóstico certo ou errado, e cada um realiza uma porcentagem dos testes. Precisamos descobrir qual é a probabilidade de o material realmente estar fadigado quando sabemos que foi emitido um diagnóstico positivo. Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e teorema de Bayes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Probabilidades de diagnóstico correto (verdadeiro positivo):
    • Laboratório X: 0,92
    • Laboratório Y: 0,88
    • Laboratório Z: 0,85
  • Probabilidades de diagnóstico incorreto (falso positivo):
    • Laboratório X: 0,07
    • Laboratório Y: 0,10
    • Laboratório Z: 0,12
  • Distribuição dos testes:
    • Laboratório X: 50% ou 0,5
    • Laboratório Y: 30% ou 0,3
    • Laboratório Z: 20% ou 0,2
Queremos encontrar a probabilidade de o material estar realmente fadigado dado que houve um diagnóstico positivo, ou seja, .

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais. A fórmula é:
P(F | D) = P(D | F) cdot P(F)P(D)
Nesse caso:
  • é a probabilidade de um diagnóstico positivo dado que o material está fatigado.
  • é a probabilidade de o material estar fatigado.
  • é a probabilidade de um diagnóstico positivo.
Mas não temos diretamente. Vamos supor que a probabilidade de qualquer material estar fatigado seja , que precisamos determinar ou considerar como 1 para simplificação, já que estamos focando na precisão do diagnóstico.

Passo 4

Vamos calcular P(D) = P(D | X) cdot P(X) + P(D | Y) cdot P(Y) + P(D | Z) cdot P(Z) , a probabilidade de obter um diagnóstico positivo. Isso pode acontecer de três formas, dependendo de qual laboratório fez o teste:
Onde:
  • (diagnóstico correto pelo X)
  • (diagnóstico correto pelo Y)
  • (diagnóstico correto pelo Z)
E:

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula de P(D) = (0,92 times 0,5) + (0,88 times 0,3) + (0,85 times 0,2) :
P(D) = 0,46 + 0,264 + 0,17 = 0,894
Vamos calcular cada parte:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular P(F | D) = P(D | F) cdot P(F)P(D) = P(D | F) cdot 10,894 = P(D | F)0,894 usando o Teorema de Bayes. Assumindo que (ou seja, estamos considerando que o diagnóstico positivo é relevante para materiais fatigados), temos:
Aqui, já consideramos como os diagnósticos corretos dos laboratórios.

Passo 7

Substituindo os valores:
P(F | D) = 0,8940,894 = 1
No entanto, isso indica que há 100% de certeza, o que não faz sentido considerando os falsos positivos. Portanto, precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 8

Vamos considerar que a probabilidade de um material estar fatigado, P(D) = P(D | F) cdot P(F) + P(D | neg F) cdot P(neg F) , não é 1. Suponha que a taxa real de fadiga na população de materiais seja P(D) = (0,92 times 0,5 times 0,1) + (0,88 times 0,3 times 0,1) + (0,85 times 0,2 times 0,1) + (0,07 times 0,5 times 0,9) + (0,10 times 0,3 times 0,9) + (0,12 times 0,2 times 0,9) (10%) para ilustrar.
Então:
Onde , e são as falsas positivas.
Então:

Passo 9

Calculando cada termo:
  • Verdadeiros positivos:
    • P(D) = 0,046 + 0,0264 + 0,017 + 0,0315 + 0,027 + 0,0216 = 0,1695
  • Falsos positivos:
Somando tudo:

Passo 10

Agora, calculamos P(F | D) = 0,046 + 0,0264 + 0,0170,1695 = 0,08940,1695 approx 0,527 :

Resposta

A probabilidade de que o material realmente esteja fadigado, dado um diagnóstico positivo, é aproximadamente 52,7%.

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