Uma empresa de engenharia está testando a fadiga de materiais em estruturas de pontes. Os testes são realizados por três laboratórios distintos: X, Y e Z. As probabilidades de diagnóstico correto (positivo verdadeiro) de fadiga pelos laboratórios são
e 0,85 , respectivamente. As probabilidades de diagnóstico incorreto (falso positivo) são 0,07 para o laboratório
para o Y, e 0,12 para o
. Sabemos que
dos testes são realizados pelo laboratório X,
pelo Y, e
pelo Z. Se um diagnóstico positivo de fadiga é emitido, qual é a probabilidade de que o material realmente esteja fadigado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre três laboratórios que testam se materiais de pontes estão com fadiga. Cada laboratório tem uma certa chance de dar o diagnóstico certo ou errado, e cada um realiza uma porcentagem dos testes. Precisamos descobrir qual é a probabilidade de o material realmente estar fadigado quando sabemos que foi emitido um diagnóstico positivo. Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e teorema de Bayes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
-
Probabilidades de diagnóstico correto (verdadeiro positivo):
- Laboratório X: 0,92
- Laboratório Y: 0,88
- Laboratório Z: 0,85
-
Probabilidades de diagnóstico incorreto (falso positivo):
- Laboratório X: 0,07
- Laboratório Y: 0,10
- Laboratório Z: 0,12
-
Distribuição dos testes:
- Laboratório X: 50% ou 0,5
- Laboratório Y: 30% ou 0,3
- Laboratório Z: 20% ou 0,2
Queremos encontrar a probabilidade de o material estar realmente fadigado dado que houve um diagnóstico positivo, ou seja,
.
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais. A fórmula é:
Nesse caso:
-
é a probabilidade de um diagnóstico positivo dado que o material está fatigado. -
é a probabilidade de o material estar fatigado. -
é a probabilidade de um diagnóstico positivo.
Mas não temos
diretamente. Vamos supor que a probabilidade de qualquer material estar fatigado seja
, que precisamos determinar ou considerar como 1 para simplificação, já que estamos focando na precisão do diagnóstico.
Passo 4
Vamos calcular
, a probabilidade de obter um diagnóstico positivo. Isso pode acontecer de três formas, dependendo de qual laboratório fez o teste:
Onde:
-
(diagnóstico correto pelo X) -
(diagnóstico correto pelo Y) -
(diagnóstico correto pelo Z)
E:
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula de
:
Vamos calcular cada parte:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular
usando o Teorema de Bayes. Assumindo que
(ou seja, estamos considerando que o diagnóstico positivo é relevante para materiais fatigados), temos:
Aqui,
já consideramos como os diagnósticos corretos dos laboratórios.
Passo 7
Substituindo os valores:
No entanto, isso indica que há 100% de certeza, o que não faz sentido considerando os falsos positivos. Portanto, precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 8
Vamos considerar que a probabilidade de um material estar fatigado,
, não é 1. Suponha que a taxa real de fadiga na população de materiais seja
(10%) para ilustrar.
Então:
Onde
, e
são as falsas positivas.
Então:
Passo 9
Calculando cada termo:
-
Verdadeiros positivos:
-
-
Falsos positivos:
-
Somando tudo:
Passo 10
Agora, calculamos
:
Resposta
A probabilidade de que o material realmente esteja fadigado, dado um diagnóstico positivo, é aproximadamente
.
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