A probabilidade de um indivíduo X contrair uma doença A é 34, uma doença B é 16 e uma doença C é 120. A probabilidade do indivíduo com doença A ficar com lesões é 110; com doença B ficar com lesões é 35 e com doença C ficar com lesões é 310. Foi encontrado lesão no indivíduo X. Qual a probabilidade de que tenha sido causado pela doença B?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá perguntando. A gente sabe as probabilidades de um indivíduo ter cada uma das doenças , e , e também as chances de ter lesões se tiver cada uma dessas doenças. Queremos descobrir qual a probabilidade de que a lesão encontrada foi causada pela doença . Para resolver isso, vamos usar um conceito de probabilidade chamado Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento P(B | L) = P(L | B) cdot P(B)P(L) dado que outro evento ocorreu. A fórmula é:
Aqui, é a probabilidade que a lesão foi causada pela doença , é a probabilidade de ter lesão dado que tem a doença , é a probabilidade de ter a doença , e é a probabilidade geral de ter lesão.

Passo 3

Vamos calcular P(L) = P(L | A) cdot P(A) + P(L | B) cdot P(B) + P(L | C) cdot P(C) , que é a probabilidade total de ter lesão. Isso envolve considerar todas as maneiras de ter lesão, seja pela doença P(L) = ( 110 times 34 ) + ( 35 times 16 ) + ( 310 times 120 ) , P(L) = 340 + 110 + 3200 = 15200 + 20200 + 3200 = 38200 = 19100 ou . A fórmula fica:
Substituindo os valores fornecidos:
Calculando cada parte:

Passo 4

Agora que temos P(B | L) = P(L | B) cdot P(B)P(L) = 35 times 1619100 = 33019100 = 11019100 = 110 times 10019 = 1019 , podemos voltar ao Teorema de Bayes para encontrar :

Resposta

A probabilidade de que a lesão tenha sido causada pela doença é , ou aproximadamente .

Exercícios relacionados