A probabilidade de um indivíduo contrair uma doença é , uma doença B é e uma doença C é . A probabilidade do indivíduo com doença A ficar com lesões é ; com doença B ficar com lesões é e com doença C ficar com lesões é . Foi encontrado lesão no indivíduo X. Qual a probabilidade de que tenha sido causado pela doença B?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá perguntando. A gente sabe as probabilidades de um indivíduo ter cada uma das doenças , e , e também as chances de ter lesões se tiver cada uma dessas doenças. Queremos descobrir qual a probabilidade de que a lesão encontrada foi causada pela doença . Para resolver isso, vamos usar um conceito de probabilidade chamado Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de um evento dado que outro evento ocorreu. A fórmula é:
Aqui, é a probabilidade que a lesão foi causada pela doença , é a probabilidade de ter lesão dado que tem a doença , é a probabilidade de ter a doença , e é a probabilidade geral de ter lesão.

Passo 3

Vamos calcular , que é a probabilidade total de ter lesão. Isso envolve considerar todas as maneiras de ter lesão, seja pela doença , ou . A fórmula fica:
Substituindo os valores fornecidos:
Calculando cada parte:

Passo 4

Agora que temos , podemos voltar ao Teorema de Bayes para encontrar :

Resposta

A probabilidade de que a lesão tenha sido causada pela doença é , ou aproximadamente .

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