Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcular a probabilidade de:
a) todas pretas;
b) exatamente uma branca;
c) ao menos uma preta.

Passo 1

Então, temos um problema de probabilidade aqui. A gente tem uma urna com 5 bolas brancas e 6 pretas, totalizando 11 bolas. Vamos tirar 3 bolas dessa urna e queremos calcular três probabilidades diferentes:
a) todas as bolas serem pretas;
b) exatamente uma bola ser branca;
c) pelo menos uma bola ser preta.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinatória, especificamente o cálculo de combinações, e aplicar a fórmula de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de retirar 3 bolas de uma urna com 11 bolas. A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, C(11, 3) = 11!3!(11 - 3)! = 11 times 10 times 93 times 2 times 1 = 165 e , então:
Portanto, há 165 maneiras diferentes de retirar 3 bolas da urna.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (a): calcular a probabilidade de que todas as 3 bolas retiradas sejam pretas. Sabemos que há 6 bolas pretas na urna. Então, queremos saber de quantas maneiras podemos escolher 3 bolas pretas dessas 6.
Usando a fórmula de combinação novamente:
C(6, 3) = 6!3!(6 - 3)! = 6 times 5 times 43 times 2 times 1 = 20
Então, há 20 maneiras de retirar 3 bolas pretas.

Passo 4

A probabilidade de um evento é dada pela razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados possíveis. Então, para a parte (a):
P(todas pretas) = C(6, 3)C(11, 3) = 20165 approx 0,1212
Isso significa que a probabilidade de retirar todas as bolas pretas é de aproximadamente 12,12%.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): calcular a probabilidade de que exatamente uma das 3 bolas retiradas seja branca. Isso significa que as outras 2 bolas devem ser pretas.
Primeiro, calculamos o número de maneiras de escolher 1 bola branca das 5 disponíveis:
C(5, 1) = 5
Em seguida, calculamos o número de maneiras de escolher 2 bolas pretas das 6 disponíveis:
C(6, 2) = 6!2!(6 - 2)! = 6 times 52 times 1 = 15
Para obter o número total de combinações favoráveis, multiplicamos esses dois resultados:
C(5, 1) times C(6, 2) = 5 times 15 = 75

Passo 6

Agora, calculamos a probabilidade para a parte (b):
P(exactamente uma branca) = 75165 approx 0,4545
Isso significa que a probabilidade de retirar exatamente uma bola branca é de aproximadamente 45,45%.

Passo 7

Por fim, vamos para a parte ©: calcular a probabilidade de que pelo menos uma das 3 bolas retiradas seja preta. Uma abordagem mais fácil aqui é calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de que nenhuma das 3 bolas seja preta (todas brancas) e depois subtrair esse valor de 1.
Primeiro, calculamos o número de maneiras de escolher 3 bolas brancas das 5 disponíveis:
C(5, 3) = 5!3!(5 - 3)! = 5 times 4 times 33 times 2 times 1 = 10

Passo 8

Agora, a probabilidade de todas as bolas serem brancas é:
P(todas brancas) = 10165 approx 0,0606
Então, a probabilidade de pelo menos uma bola ser preta é:
P(ao menos uma preta) = 1 - P(todas brancas) = 1 - 0,0606 approx 0,9394

Resposta

a) A probabilidade de todas as bolas serem pretas é aproximadamente 12,12%.
b) A probabilidade de exatamente uma bola ser branca é aproximadamente 45,45%.
c) A probabilidade de pelo menos uma bola ser preta é aproximadamente 93,94%.

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