Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcular a probabilidade de:
a) todas pretas;
b) exatamente uma branca;
c) ao menos uma preta.
a) todas pretas;
b) exatamente uma branca;
c) ao menos uma preta.
Passo 1
Então, temos um problema de probabilidade aqui. A gente tem uma urna com 5 bolas brancas e 6 pretas, totalizando 11 bolas. Vamos tirar 3 bolas dessa urna e queremos calcular três probabilidades diferentes:
a) todas as bolas serem pretas;
b) exatamente uma bola ser branca;
c) pelo menos uma bola ser preta.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinatória, especificamente o cálculo de combinações, e aplicar a fórmula de probabilidade.
a) todas as bolas serem pretas;
b) exatamente uma bola ser branca;
c) pelo menos uma bola ser preta.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinatória, especificamente o cálculo de combinações, e aplicar a fórmula de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de retirar 3 bolas de uma urna com 11 bolas. A fórmula para combinações é:
Aqui,
e
, então:
Portanto, há 165 maneiras diferentes de retirar 3 bolas da urna.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (a): calcular a probabilidade de que todas as 3 bolas retiradas sejam pretas. Sabemos que há 6 bolas pretas na urna. Então, queremos saber de quantas maneiras podemos escolher 3 bolas pretas dessas 6.
Usando a fórmula de combinação novamente:
Então, há 20 maneiras de retirar 3 bolas pretas.
Passo 4
A probabilidade de um evento é dada pela razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados possíveis. Então, para a parte (a):
Isso significa que a probabilidade de retirar todas as bolas pretas é de aproximadamente 12,12%.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): calcular a probabilidade de que exatamente uma das 3 bolas retiradas seja branca. Isso significa que as outras 2 bolas devem ser pretas.
Primeiro, calculamos o número de maneiras de escolher 1 bola branca das 5 disponíveis:
Em seguida, calculamos o número de maneiras de escolher 2 bolas pretas das 6 disponíveis:
Para obter o número total de combinações favoráveis, multiplicamos esses dois resultados:
Passo 6
Agora, calculamos a probabilidade para a parte (b):
Isso significa que a probabilidade de retirar exatamente uma bola branca é de aproximadamente 45,45%.
Passo 7
Por fim, vamos para a parte ©: calcular a probabilidade de que pelo menos uma das 3 bolas retiradas seja preta. Uma abordagem mais fácil aqui é calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de que nenhuma das 3 bolas seja preta (todas brancas) e depois subtrair esse valor de 1.
Primeiro, calculamos o número de maneiras de escolher 3 bolas brancas das 5 disponíveis:
Passo 8
Agora, a probabilidade de todas as bolas serem brancas é:
Então, a probabilidade de pelo menos uma bola ser preta é:
Resposta
a) A probabilidade de todas as bolas serem pretas é aproximadamente 12,12%.
b) A probabilidade de exatamente uma bola ser branca é aproximadamente 45,45%.
c) A probabilidade de pelo menos uma bola ser preta é aproximadamente 93,94%.