Uma empresa de marketing direto foi contratada e envia cartas promocionais aos clientes de uma rede de lojas. A taxa histórica de resposta é de 10 %. Se a empresa enviou 20 cartas, calcule a probabilidade de que:
X : N^circ de cartas respondidas, de um total de 20.
P(ninguém responda)

Passo 1

O problema nos informa que uma empresa de marketing enviou 20 cartas promocionais, e a taxa histórica de resposta é de 10%. Queremos descobrir a probabilidade de que ninguém responda a essas cartas, ou seja, $ P(X = 0) $, onde $ X $ é o número de respostas.
Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que é adequada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 20 cartas), cada uma com dois possíveis resultados: sucesso (responder) ou fracasso (não responder). A probabilidade de sucesso em cada tentativa é constante, aqui $ p = 0,10 $ (10%).

Passo 2

A distribuição binomial é definida pela fórmula:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n - k
Onde:
  • $ n = 20 $ é o número total de cartas enviadas,
  • $ k = 0 $ é o número de respostas que queremos calcular,
  • $ p = 0,10 $ é a probabilidade de uma carta ser respondida,
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula quantas maneiras existem de escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula:
P(X = 0) = binom200 (0,10)^0 (1 - 0,10)^20 - 0

Passo 4

Vamos calcular cada parte da expressão:
  • $ \binom{20}{0} = 1 $ (há apenas uma maneira de não ter nenhuma resposta),
  • $ (0,10)^0 = 1 $ (qualquer número elevado a 0 é 1),
  • $ (0,90)^{20} $ é a probabilidade de todas as 20 cartas não serem respondidas.
Portanto:
binom200 = 1

Passo 5

Calculando $ 0,90^{20} $:
0,90^20

Resposta

A probabilidade de que ninguém responda às 20 cartas enviadas é aproximadamente 12,16%.

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