Uma empresa de marketing direto foi contratada e envia cartas promocionais aos clientes de uma rede de lojas. A taxa histórica de resposta é de
. Se a empresa enviou 20 cartas, calcule a probabilidade de que:
X :
de cartas respondidas, de um total de 20.
P(ninguém responda)
X :
P(ninguém responda)
Passo 1
O problema nos informa que uma empresa de marketing enviou 20 cartas promocionais, e a taxa histórica de resposta é de 10%. Queremos descobrir a probabilidade de que ninguém responda a essas cartas, ou seja, $ P(X = 0) $, onde $ X $ é o número de respostas.
Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que é adequada quando temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 20 cartas), cada uma com dois possíveis resultados: sucesso (responder) ou fracasso (não responder). A probabilidade de sucesso em cada tentativa é constante, aqui $ p = 0,10 $ (10%).
Passo 2
A distribuição binomial é definida pela fórmula:
Onde:
- $ n = 20 $ é o número total de cartas enviadas,
- $ k = 0 $ é o número de respostas que queremos calcular,
- $ p = 0,10 $ é a probabilidade de uma carta ser respondida,
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula quantas maneiras existem de escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular cada parte da expressão:
- $ \binom{20}{0} = 1 $ (há apenas uma maneira de não ter nenhuma resposta),
- $ (0,10)^0 = 1 $ (qualquer número elevado a 0 é 1),
- $ (0,90)^{20} $ é a probabilidade de todas as 20 cartas não serem respondidas.
Portanto:
Passo 5
Calculando $ 0,90^{20} $:
Resposta
A probabilidade de que ninguém responda às 20 cartas enviadas é aproximadamente 12,16%.