Vinte por cento dos domicílios norte-americanos possuem três ou mais veículos motorizados. Você seleciona 12 domicílios ao acaso. Qual a probabilidade de que:
X: N^o de domicílios com mais de 2 veículos, de um total de 12 domicílios.
P(no mínimo seis domicílios selecionados possuir ao menos três veículos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a probabilidade de, ao selecionar 12 domicílios nos Estados Unidos, pelo menos 6 deles terem três ou mais veículos motorizados. Sabemos que 20% dos domicílios têm essa característica. Vamos usar conceitos de probabilidade binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. É usada quando temos uma série de experimentos independentes, cada um com dois possíveis resultados: sucesso ou fracasso. No nosso caso, “sucesso” é um domicílio ter três ou mais veículos, e “fracasso” é o contrário.

Passo 3

Vamos definir os parâmetros da distribuição binomial:
  • n (número de tentativas) = 12 domicílios
  • p (probabilidade de sucesso) = 0,20 (20%)
  • k (número de sucessos) = queremos pelo menos 6

Passo 4

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 5

Como queremos a probabilidade de pelo menos 6 domicílios terem três ou mais veículos, precisamos calcular:
P(X >= 6) = sumk=6^12 binom12k (0.20)^k (0.80)^12-k

Passo 6

Vamos calcular cada termo da soma:
  • Para k = 6:
binom126 (0.20)^6 (0.80)^6
- Para k = 7:
binom127 (0.20)^7 (0.80)^5
  • E assim por diante, até k = 12.

Passo 7

Somando todas essas probabilidades, obtemos a probabilidade total de pelo menos 6 domicílios terem três ou mais veículos.

Resposta

A probabilidade de que no mínimo seis dos 12 domicílios selecionados possuam pelo menos três veículos é aproximadamente 0,0008 ou 0,08%.

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